精度保証付き数値計算の前進---有限と無限をつなぐもの---

保证精度的数值计算进展---连接有限与无限---

基本信息

批准号：
21H01000
负责人：
渡部善隆
金额：
$ 10.98万
依托单位：
Kyushu University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

・流体の基礎方程式であるNavier-Stokes方程式に特別な外力項を課したKolmogorov問題に対し、解の存在検証において重要な役割を果たす無限次元空間の最大値ノルムをほぼ最適に評価する手法を提案し、研究成果を公開した。また、得られた最大値ノルム評価を用いてKolmogorov問題の解の存在検証領域精度の大幅な改善に成功した。・2階楕円型作用素において得られた前年度の成果を拡張し、ヒルベルト空間における無限次元線形作用素の可逆性と逆作用素ノルムを数学的に厳密な意味で検証する新しい精度保証付き数値計算アルゴリズム構築を行った。また、手法を4階楕円型作用素、非線形波動方程式から得られる特異性を持つ微分作用素を含め様々な線形作用素に適用し、その有効性を実証した。・2階楕円型線形作用素の可逆性の検証と逆作用素ノルムの精度保証付き評価に対する研究成果として、適切な仮定のもとで、逆作用素ノルムの有限次元一様近似が収束することを理論的に明らかにし、研究成果を公開した。また、具体的な収束オーダー評価および一般化への検討を行った。・Navier-Stokes方程式に関連したProudman-Johnson方程式に対し、解を包含する無限次元集合の射影に相当する有限次元部分を区間係数と基底関数の一次結合で表現することにより、精度保証付き数値計算を効率化した。また、Kolmogorov問題の最大値ノルム評価の知見を活かした効果的な最大値ノルム評価を定式化に組み込んだ。結果として、従来達成することができなかった高レイノルズ数における解の計算機援用証明に成功した。

・针对在纳维-斯托克斯方程上施加特殊外力项的柯尔莫哥洛夫问题，提出了一种几乎最优地评估无限维空间的最大值范数的方法，该方法在验证解的存在性方面发挥着重要作用，是流体的基本方程并发表了研究成果。此外，利用获得的最大值范数评估，我们成功地显着提高了柯尔莫哥洛夫问题解的存在验证区域的准确性。・建立了一种新的精度有保证的数值计算算法，以扩展前一年在二阶椭圆算子上获得的结果，并在数学严格意义上验证希尔伯特空间中无限维线性算子的可逆性和逆算子范数。它。我们还将该方法应用于各种线性算子，包括四阶椭圆算子和从非线性波动方程获得的奇点微分算子，并证明了其有效性。・作为验证二阶椭圆线性算子的可逆性和保证逆算子范数精度评估的研究成果，我们从理论上证明了逆算子范数的有限维一致近似在适当的假设下收敛，并发表了研究成果。我们还进行了具体的收敛阶评价和推广研究。・对于与纳维-斯托克斯方程相关的普劳德曼-约翰逊方程，通过将包含解的无限维集的投影对应的有限维部分表示为区间系数和基的线性组合，可以进行保证精度的数值计算功能变得更加高效。此外，我们在公式中纳入了有效的最大范数评估，该评估利用了柯尔莫哥洛夫问题的最大范数评估知识。结果，我们成功地用计算机辅助证明了高雷诺数下的解决方案，这在以前是不可能实现的。