現象解析のツールとしての精度保証付き計算法の開発

开发一种保证精度的计算方法作为现象分析的工具

基本信息

批准号：
21K03348
负责人：
山本野人
金额：
$ 2.5万
依托单位：
The University of Electro-Communications
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

2022年度は、保存量を持つ常微分方程式系に関して、主として２つの観点からの研究を進めた。一つは簡易的な構造保存型とも言える射影法をベースとした手法である。保存量を伴う系の数値計算は、軌道計算におけるドリフトが生じやすいことが知られている。精度保証付き数値計算では、このことは区間幅の急激な拡大を引き起こす。通常の数値計算では、これを避けるために構造保存型数値計算をはじめとするいくつかの手法が存在する。射影法はそのうちでも簡便なもので、保存量を与える関数の勾配を計算し、これを次ステップの解計算に援用する。これを精度保証法として展開すると、Lohner法の計算プロセスの中で計算される区間を保存量の勾配に合わせて回転し、特定の方向を細分割して保持している保存量を含まない小区間を排除する方法を採ることになる。この観点から、ドリフトが起こりやすい例題を用いて研究を進め、排除の方法に関するいくつかの知見を得た。さらにこの方法を微分代数方程式に適用し、限定された状況ながら精度保証付き計算を行うことに成功している。微分代数方程式への精度保証法の適用は、申請者の知る限り最初のものである。二つめは、位相空間における平衡点近傍の球面上で保存量をサーチすることで、解の挙動を解析する方法の研究である。球面上での保存量の最大値・最小値は、解軌道がその点で球面に接していることを意味している。さらに微分方程式右辺のベクトル値関数（flow）からの情報を組み合わせると、当該の解軌道が球内に閉じ込めれられている、もしくは、球内に入り込むことがないことを示し得る場合がある。このような情報を数値的手法として整えて提案し、非線形シュレディンガー方程式の解析に応用した例を示した。この方法は学術雑誌の招待論文として投稿し、掲載されている。

2022年，我们主要从两个角度对守恒常微分方程组进行研究。一种是基于投影法的方法，可以称为简单的结构保持方法。众所周知，涉及守恒量的系统的数值计算在轨迹计算中容易出现漂移。在保证精度的数值计算中，这会导致区间宽度迅速扩大。在普通的数值计算中，有多种方法可以避免这个问题，其中包括保结构数值计算。投影法是最简单的方法之一，它计算给出守恒量的函数的梯度，并用它来计算下一步的解。如果将此开发为精度保证方法，则将Lohner方法的计算过程中计算出的区间根据守恒量的梯度进行旋转，并将特定方向细分为不包含守恒量的小部分We。将采用排除部分的方法。从这个角度来看，我们利用可能发生漂移的例子进行了研究，并获得了一些消除方法的知识。此外，通过将该方法应用于微分代数方程，我们成功地在有限的情况下进行了保证精度的计算。据申请人所知，这是精度保证方法首次应用于微分代数方程。第二个是研究通过搜索相空间平衡点附近球面上的守恒量来分析解的行为的方法。球面上守恒量的最大值和最小值意味着解轨道在该点接触球面。此外，当与微分方程右侧的向量值函数（流）的信息相结合时，有可能表明所讨论的解轨迹被限制在一个球体内，或者它永远不会落在球体内一个球体。我们准备并提出了此类信息作为数值方法，并展示了其应用于非线性薛定谔方程分析的示例。该方法已作为邀请论文提交并发表在学术期刊上。