偏微分方程式の解の数値的検証法

偏微分方程解的数值验证方法

基本信息

批准号：
05740136
负责人：
山本野人
金额：
$ 0.64万
依托单位：
Kyushu University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
财政年份：
1993
资助国家：
日本
起止时间：
1993 至无数据
项目状态：
已结题

项目摘要

今年度における精度保証付き計算法の研究の中で得られた、次のような新しい成果を報告する。1.丸め誤差を処理するための演算手法の開発既存の有理数演算用のパッケージをもとにして、区間演算を利用して丸め誤差を処理するプログラムを開発した。すなわち、(1) 区間型の変数および演算を導入した。(2) 加減算の度に連分数展開を用いて、有理数を与えられた桁数に丸め、その誤差を含むように区間幅を広げるルーチンを作成した。このプログラムによって、丸め誤差の影響までも考慮した厳密な計算が可能となった。2.非線形偏微分方程式の球対称解の漸近挙動に関する応用conformal scalar curvature equationと呼ばれる非線形偏微分方程式の球対称解は、原点での値に依って三種の異なる漸近挙動を取ることが知られているが、どのタイプを取るかの判定法は一般には与えられていなかった。報告者は、積分方程式に対する精度保証付き計算法を考案し、これを用いてPohozaevの恒等式にあらわれる量を厳密に計算することで、漸近挙動の判定を行なう方法を提案した。今後の研究計画としては、まず、これまでの結果をさらに発展させて、有理数演算及び区間演算、あるいは区間演算を応用した完全精度計算を用いた精度保証計算用の演算パッケージを開発することが挙げられる。次に、問題によって必要となる区間係数の扱いや誤差評価の方法などについての複雑な手順を上述の演算パッケージで計算可能になるように工夫する。これは同じ計算量で最大の精度が得られるような理論と演算双方での工夫を意味するだけでなく、応用の簡便さという視点から、できるだけ明解で適用範囲の広い手法の開発をも意味している。具体的には、上記の球対称解を扱う場合での積分方程式への変換及び数値積分の手法の応用を発展させていくことなどを考えている。

我们报告今年在保证精度的计算方法研究中取得的新成果。 1. 开发处理舍入误差的算术方法基于现有的有理数算术包，我们开发了一个使用区间算术来处理舍入误差的程序。即（1）我们引入了区间类型的变量和运算。 (2) 我创建了一个例程，每次执行加法或减法时，使用连分数扩展将有理数四舍五入为给定位数，并加宽区间宽度以包含误差。该程序允许精确计算，甚至考虑舍入误差的影响。 2. 非线性偏微分方程球对称解的渐近行为的应用众所周知，非线性偏微分方程的球对称解（称为共形标量曲率方程）根据原点处的值呈现三种不同的渐近行为。没有通用方法来确定采用哪种类型。演讲者提出了一种确定渐近行为的方法，设计了一种保证精度的积分方程计算方法，并使用该方法精确计算 Pohozaev 恒等式中出现的量。未来的研究计划包括，首先，进一步发展迄今为止获得的成果，并开发使用有理数算术和区间算术的精度保证计算或应用区间算术的全精度计算的算术包。接下来，我们设计了一种方法，可以使用上述计算包来计算每个问题所需的复杂程序，例如如何处理区间系数以及如何评估误差。这不仅意味着设计理论和计算，以相同的计算量获得最大的精度，而且从易于应用的角度出发，开发尽可能清晰和广泛适用的方法。具体来说，我们正在考虑将上述球对称解转换为积分方程，并开发数值积分技术的应用。