非線形楕円型方程式の固有値問題と逆問題の精密解析

非线性椭圆方程特征值问题和反问题的精确分析

基本信息

批准号：
21K03310
负责人：
柴田徹太郎
金额：
$ 2.66万
依托单位：
Hiroshima University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

本研究では、非線形楕円型方程式の固有値問題の精密解析を行い、分岐曲線や対応する解の漸近挙動を解明することを目的とする。本年度は前年度に得られた知見をふまえて、特にキルヒホッフ方程式から導かれる、非局所項を含む定常状態の常微分方程式の解と分岐曲線の詳細な解析に取り組んだ。具体的には、典型的な非局所項を含む方程式をはじめとして、過去に考察されたことのなかった対数的な非局所的キルヒホッフ関数をふくむような非線形常微分方程式の分岐問題を、タイムマップ法と呼ばれる常微分方程式論的方法を軸として考察した。その結果、いままでには知られていなかった、基本的な非局所項を持つ非線形固有値問題の第一固有値と固有関数を特定することに成功した。この結果は、今後、多次元の非局所的キルヒホッフタイプの非変形楕円型固有値問題に関しても、第一固有値に関する有力な情報が得られる可能性を与えたといえる結果なので、多次元の非局所的楕円型偏微分方程式の分岐問題に関する解析の発展につながる可能性を与えたといえる。このような方程式を研究対象とした理由としては、分岐曲線の大域的構造が、考察する方程式の特徴的構造、すなわち非線形項の性質を反映していることを考慮したからであり、このようなキルヒホッフ関数を非局所項に持つような、具体的な物理的背景をもつ方程式の分岐問題の解析に成功したことは、物理的観点からも意義深いものであるといえる。また、本年度得られた成果は、逆分岐問題、すなわち考察する方程式が未知の非局所項を含んでいるという問題設定の下で、分岐曲線の大域的形状などの特徴から未知の非局所項を決定するという、逆分岐問題の研究をしていくうえで、これまでにはなかった新しい研究方向を与えた。

本研究的目的是对非线性椭圆方程的特征值问题进行精确分析，并阐明分岔曲线的渐近行为和相应的解。今年，基于前一年获得的知识，我们研究了稳态常微分方程的解，包括基尔霍夫方程导出的非局部项，以及分岔曲线的详细分析。具体来说，我们将使用时间图来解决非线性常微分方程的分岔问题，包括包含典型非局部项的方程，以及从未考虑过的对数非局部基尔霍夫函数。本文重点讨论称为方法的常微分方程理论。。结果，我们成功地识别了具有先前未知的基本非局部项的非线性特征值问题的第一个特征值和特征函数。这一结果可以说为今后获得多维非局部基尔霍夫型非变形椭圆特征值问题的第一特征值的有用信息提供了可能，这可以说为导致分岔分析的发展提供了可能性。偏微分方程类型的问题。之所以选择此类方程作为研究对象，是因为分岔曲线的全局结构反映了所考虑方程的特征结构，即非线性项的性质，在具体分析方程分岔问题时取得了成功。从物理角度来看，物理背景，例如基尔霍夫函数作为非局部项的背景，可以说是很重要的。此外，今年获得的结果是基于逆分岔问题，其中要考虑的方程包含未知的非局部项，并且未知的非局部项是从分岔曲线的全局形状等特征中求解出来的。为逆分岔问题研究提供了新的方向。