微分方程式の解の漸近的性質

微分方程解的渐近性质

基本信息

批准号：
08640206
负责人：
柴田徹太郎
金额：
$ 1.15万
依托单位：
Hiroshima University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
1996
资助国家：
日本
起止时间：
1996 至无数据
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-08640206/
关键词：
固有値非線形楕円型

项目摘要

本件は変分法、常微分方程式手法、関数解析・スペクトル理論を主体として、非線形楕円型方程式の固有値問題、特に、いくつものパラメーターを含む非線形固有値問題の変分固有値の漸近的性質の解析に焦点を絞って研究を進めた。研究対象である変分固有値を定義するために用いた枠組みは、2種類の変分法である。具体的には、まず第一に、2つのパラメーターを含む固有問題に対して、E. Zeidlerによって導入された一般的等高集合上で変分法を用いて変分固有値を定義する。第二に、L^P-空間の球面を等高集合とし、この上で変分法を用いて変分固有値を定義する。この変分構造に加えて、さらに非線形Scalar Field方程式のGround State解の性質を組み合わせて研究を進めていくことが有効であることが明らかになった。特に、2つのパラメーターを含む非線形楕円型方程式の固有値問題の解の漸近挙動の解析に対してこの方法が適していることが判明した。特に、上の二つの方法で得た2種類の変分固有値の漸近挙動は互いに異なっていることが判明した。これらの結果をいくつかのパラメーターを含む非線形固有値問題に拡張することは重要な課題であったが、我々はこれまでに得られた結果・手法を、さらに一般化された高次元の問題に適用し、解や固有値の漸近挙動・分岐理論との関連を明らかにする手がかりを得た。すなわち、2つのパラメーターの問題にたいして得た結果を、自然な形でいくつかのパラメーターを含む非線形固有値問題に拡張することに成功した。これらの研究で、従来の線形固有値理論を含む、統括的な理論体系の構築が十分期待できる。また、特異摂動の問題における解の漸近挙動の性質と同様に、この問題の解や固有値の定性的性質、特に解の形状や固有値の漸近挙動が、領域の形状に影響を受けるということが判明した。

本案例主要针对非线性椭圆方程的特征值问题进行分析，特别是涉及多参数的非线性特征值问题的变分特征值的渐近性质，主要采用变分法、常微分方程法、泛函分析、谱理论等方法。我们的研究重点如下。用于定义作为研究主题的变分特征值的框架是两种类型的变分方法。具体来说，首先，对于涉及两个参数的特征值问题，我们使用E. Zeidler引入的一般轮廓集上的变分方法来定义变分特征值。其次，我们将L^P-空间的球面定义为轮廓集，然后使用变分方法定义变分特征值。除了这种变分结构之外，结合非线性标量场方程基态解的性质进行进一步研究已变得很有效。特别是，该方法被发现适用于分析涉及两个参数的非线性椭圆方程特征值问题的解的渐近行为。特别是，发现上述两种方法得到的两类变分特征值的渐近行为是不同的。将这些结果扩展到涉及多个参数的非线性特征值问题是一个重要的挑战，但我们将迄今为止获得的结果和方法应用于更广义的高维问题，我们获得了阐明解和特征值的渐近行为及其与特征值的关系的线索。分岔理论。换句话说，我们成功地将二参数问题获得的结果自然地扩展到涉及多个参数的非线性特征值问题。通过这些研究，我们完全可以期待构建一个包括传统线性特征值理论在内的综合理论体系。还发现，与奇异摄动问题中解的渐近行为性质类似，该问题的解和特征值的定性性质，特别是解的形状和特征值的渐近行为，受该地区形状的影响。