完全WKB解析と多重総和法

完整的WKB分析和多重求和方法

基本信息

批准号：
16K05177
负责人：
小池達也
金额：
$ 2.91万
依托单位：
Kobe University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2016
资助国家：
日本
起止时间：
2016-04-01 至 2019-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

今年度は，名古屋大学完全WKB解析と Eynard-Orantain の位相的漸化式について，特に完全WKB解析におけるVoros係数を，位相的漸化式を用いて定義される自由エネルギー（の母関数）を用いて表示する研究を名古屋大学の岩木耕平氏，神戸大学の竹井優美子氏と共同で行った．まず，位相的漸化式による量子化について，方程式の階数は二階に制限したものの，先行する結果よりも一般的な形で証明することができた．その結果，Gauss の超幾何方程式やその特異点の退化として得られる全ての方程式の WKB 解を位相的漸化式を用いて構成することができるなど，これらの方程式を位相的漸化式を用いて研究する準備ができた．次に位相的漸化式により定義される相関関数の変分公式を用いて，これらの方程式の WKB 解のVoros 係数を自由エネルギーの差分として表わすことに成功した．Voros 係数は WKB 解の Borel 和の大域的挙動を研究する上で最も重要なものの一つであることが従来の研究で明らかにされているが，この研究結果は自由エネルギーが Voros 係数を支配する量であることを意味し，従って，特異摂動型微分方程式の解の大域的研究において，より基本的な対象を見い出したことになる．その一つの応用として，この関係式を用いて自由エネルギーの満たす二階差分方程式を導出した．これを解くことにより自由エネルギーのベルヌーイ数を用いた具体的な表式を決定できる．（なお，これらの具体的表式の証明方法は新しいものと考えられるが，得られた自由エネルギーの表式のうち幾つかは既知である．）さらに前述の関係式を用いて自由エネルギーの具体的表式から Voros 係数も導出した．以上の研究結果について現在論文を作成中である．

今年，我们将重点研究名古屋大学完整的WKB分析和Eynard-Orantain拓扑递推公式，特别是使用拓扑递推公式定义的自由能（生成函数）的完整WKB分析中的Voros系数进行了研究。与名古屋大学的 Kohei Iwaki 和神户大学的 Yumiko Takei 合作。首先，关于使用拓扑递推公式的量化，尽管我们将方程的阶数限制为二阶，但我们能够以比以前的结果更通用的形式证明它。因此，可以使用拓扑递推公式构建高斯超几何方程的 WKB 解以及作为奇点回归获得的所有方程。我准备做一些研究。接下来，利用拓扑递推公式定义的相关函数的变分公式，我们成功地将这些方程的WKB解的Voros系数表示为自由能之差。先前的研究表明，Voros 系数是研究 WKB 解的 Borel 和的全局行为的最重要因素之一，但本研究的结果表明，自由能主导 Voros 系数，因此，在全局研究中。通过奇异摄动微分方程的解，我们发现了一个更基本的对象。作为一个应用，我们利用这个关系表达式导出了自由能满足的二阶差分方程。通过解决这个问题，我们可以使用自由能的伯努利数确定一个特定的表达式。（虽然证明这些特定表达式的方法被认为是新的，但所获得的一些自由能表达式是已知的。）此外，利用上述关系表达式，我们可以证明自由能特定表达式也可以从以下公式推导出来。表达。目前正在撰写关于上述研究结果的论文。