Geometric analysis of convolution operators on symmetric spaces and its applications to integral geometry and inverse problems

对称空间上卷积算子的几何分析及其在积分几何和反问题中的应用

• 批准号: 21K03264
• 负责人: 筧 知之
• 金额: $ 2.66万
• 依托单位: University of Tsukuba
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2021
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2021-04-01 至 2025-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21K03264/
• 关键词: 合成積作用素; 波動方程式; 対称空間; 幾何解析; 逆問題; 積分幾何

現在まで対称空間上の合成積作用素が満たす諸性質を幾何解析的に研究しているが、２０２２年度は波動方程式への応用について研究を行った。波動方程式に関してはコーシー問題としての研究がほとんどであり、それ以外の枠組みでの研究は少ない。本研究では、幾つかの時刻でデータを与え、そのデータを満たす波動方程式の解が存在するか？という問題を扱った。以下、この問題をコーシー問題と区別するためにスナップショット問題と呼ぶことにする。また、各時刻で与えるデータをスナップショットデータと呼ぶことにする。得られた結果は、大雑把に言って、以下の通りである。ユークリッド空間および非コンパクト対称空間上の波動方程式については、スナップショットデータを２つ与える場合では解を決定することは出来ない。時刻T=0, T=a, T=bの３つの時刻でスナップショットデータを与える場合、比a/bが無理数の場合は解の一意性が成立する。一方、スナップショットデータがある両立条件を満たし、かつ,比a/bがある数論的条件を満たすとき、かつ、その時に限り、解が存在する。勿論、それだけではなく、波動方程式の解とスナップショットデータの間の詳しい関係も解明した。更に、コンパクト対称空間上のスナップショット問題も考察し、こちらについても詳しい結果を得た。方法としては、エーレンプレイスによる合成積作用素の理論と我々の研究グループが開発した対称空間上の合成積作用素の結果を組み合わせて行う。以上は、ゴンザレス氏、クリステンセン氏、ワン氏との共同研究によるものであり、共著論文を執筆中である。なお、スナップショット問題に関する先行結果は実質的に存在しない、即ち、我々の研究がスナップショット問題に関する初めての結果であることを注意しておく。

到目前为止，我们一直在使用几何分析研究对称空间上复合乘积算子满足的各种性质，但在 2022 年我们将研究它们在波动方程中的应用。关于波动方程的研究大多基于柯西问题，其他框架的研究很少。在这项研究中，我们多次给出数据，并询问波动方程是否存在满足数据的解。处理了这个问题。在下文中，该问题将被称为快照问题，以区别于柯西问题。此外，将每次提供的数据称为快照数据。得到的结果大致如下。对于欧氏空间和非紧对称空间中的波动方程，如果给出两个快照数据，则无法确定解。当给出三次快照数据T=0、T=a、T=b时，如果a/b之比是无理数，则解的唯一性成立。另一方面，当且仅当快照数据满足一定的兼容性条件并且比率a/b满足一定的算术条件时，解才存在。当然，不仅如此，我们还明确了波动方程的解与快照数据之间的详细关系。此外，我们还考虑了紧对称空间上的快照问题，并得到了详细的结果。该方法结合了Ehrenpreis的复合乘积算子理论和我们课题组研究的对称空间上的复合乘积算子的研究成果。以上是与Gonzalez先生、Christensen先生、王先生共同研究的成果，目前正在撰写一篇合着论文。需要注意的是，之前几乎没有关于快照问题的结果，也就是说，我们的研究是关于快照问题的第一个结果。

项目成果

Surjectivity of convolution operators

卷积算子的满射性

• 发表时间: 2022
• 作者: Kanehisa Takasaki;Tomoyuki Kakehi
• 通讯作者: Tomoyuki Kakehi

タフツ大学/コルゲート大学(米国)

塔夫茨大学/科尔盖特大学（美国）