準射影多様体上のケーラー・アインシュタイン計量の境界挙動と対数的標準束の正値性

准射影流形上凯勒-爱因斯坦度量的边界行为及对数标准通量的正值

• 批准号: 21K03232
• 负责人: 菊田 伸
• 金额: $ 2.16万
• 依托单位: Kogakuin University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2021
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2021-04-01 至 2026-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21K03232/
• 关键词: ケーラー・アインシュタイン計量の体積増大度; ケーラー・アインシュタイン計量の境界に沿った留数; 対数的標準束の正値性の退化; 境界の小平次元; 一般化されたケーラー・アインシュタイン計量; ジーゲルモジュラー多様体のトロイダルコンパクト化; トーラス・ファイブレーション; カラビ・ヤオ境界とリッチ平坦計量; 小平次元; ベルグマン核と計量の境界挙動; トーラスファイブレーション; リッチ曲率が負のケーラー・アインシュタイン計量; 境界に沿った留数; 体積増大度

対数的標準束が正値性を持つ滑らかな準射影代数多様体上において, リッチ曲率が負の概完備ケーラー・アインシュタイン計量の存在が, 板東, Tian-Yau, 小林亮一氏らによって証明された. その正値性は境界上では退化することが許されるため, その退化が計量の境界挙動へ及ぼす影響を決定することは興味深い問題である. それに答えを与えるため, 体積増大度予想「体積形式の対数部分の冪に境界の小平次元が関わる」, 留数予想「計量の留数が一般化ケーラー・アインシュタイン計量に一致する」という2つを申請者が提案した. それを解決することが本研究の目的の１つである.昨年度は, 境界の(対数的)小平次元が中間の場合の具体例である, ジーゲルモジュラー多様体のトロイダルコンパクト化に対して, 2つの予想を示すためのアイデアの着想を得た. それは合同部分群問題の解決を用いて, 一般の算術群の場合を主合同部分群の場合に帰着することである. 主合同部分群の場合はW. WangやYau-Zhangの計算を応用することで, 以前に既に解決できていた. 今年度は, このアイデアから正確な証明を構築することに集中し, 完成させることが出来た. 佐竹コンパクト化への標準的な写像を通して, 境界には低次元のジーゲルモジュラー多様体上のトーラスファイブレーションの構造が入る. その得られた結論を述べると, 体積増大度予想に関しては「体積形式の対数部分の冪に, 低次元ジーゲルモジュラー多様体の次元が現れる」である. ここでは低次元ジーゲルモジュラー多様体の次元が(対数的)小平次元と見做せる. 留数予想に関しては「留数は低次元ジーゲルモジュラー多様体のケーラー・アインシュタイン計量の(明示的な)定数倍と一致する」を示した. この定数倍によって, この計量は一般化ケーラー・アインシュタイン計量となっている.

Bando、Tian-Yau、Ryoichi Kobayashi 等人证明了在具有正对数标准通量的光滑准射影代数簇上具有负 Ricci 曲率的几乎完全的 Kähler-Einstein 度量的存在，因为它的正值允许在 上退化。边界，确定简并性对度量边界行为的影响是一个有趣的问题。申请人提出了两个体积增长猜想：“边界的小平维数涉及体积形式的对数部分的幂”和一个留数猜想：“度量的留数与广义的科勒-爱因斯坦一致”这项研究的目的之一就是解决这个问题。去年，我们研究了西格尔模流形的环形紧致化，这是边界的（对数）小平维数处于中间的一个具体示例。我有一个想法来展示两个猜想：使用同余子群问题的解决方案，我将一般算术群的情况简化为主要同余子群的情况，我之前已经能够通过应用 W 的计算来解决这个情况。今年，我专注于从这个想法构建一个精确的证明，并能够通过标准映射到 Satake 紧致化来完成它。边界包含低维西格尔模流形上的环面纤维化结构。由此得出的结论是，关于体积增长的预测，“低维西格尔模流形是体积形式的对数部分的幂”这里，低维Siegel模流形的维数可以被视为（对数）Kodaira维数。关于留数猜想，我们表明“留数与低维西格尔模流形的科勒-爱因斯坦度量的（显式）常数乘法一致。”这种常数乘法将该度量转换为广义的科勒-爱因斯坦度量。就变成了。

项目成果

境界の小平次元が最大・最小の場合のケーラー・アインシュタイン計量の体積増大度

边界小平维数最大和最小时Köhler-Einstein度量的体积增加程度

• 发表时间: 2023
• 作者: Kawai Kotaro;Yamamoto Hikaru;新田泰文;塚本真輝;菊田伸
• 通讯作者: 菊田伸

シーゲルモジュラー多様体上のベルグマン計量の境界挙動

Siegel模流形上Bergmann度量的边界行为

• 发表时间: 2022
• 作者: Kawai Kotaro;Yamamoto Hikaru;菊田伸
• 通讯作者: 菊田伸

境界がカラビ・ヤオの場合のケーラー・アインシュタイン体積形式の公式

当边界为 Calabi-Yao 时的 Köhler-Einstein 体积形式的公式

• 发表时间: 2023
• 作者: 新田泰文;菊田伸
• 通讯作者: 菊田伸

対数的標準束の正値性の退化とケーラー・アインシュタイン計量の留数

对数标准束的正值和凯勒-爱因斯坦度量的残差的退化

• 发表时间: 2022
• 作者: Kawai Kotaro;Yamamoto Hikaru;菊田伸;塚本 真輝;菊田伸
• 通讯作者: 菊田伸