準射影多様体上のケーラー・アインシュタイン計量の境界挙動と対数的標準束の正値性

准射影流形上凯勒-爱因斯坦度量的边界行为及对数标准通量的正值

• 批准号: 21K03232
• 负责人: 菊田 伸
• 金额: $ 2.16万
• 依托单位: Kogakuin University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2021
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2021-04-01 至 2026-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21K03232/
• 关键词: ケーラー・アインシュタイン計量の体積増大度; ケーラー・アインシュタイン計量の境界に沿った留数; 対数的標準束の正値性の退化; 境界の小平次元; 一般化されたケーラー・アインシュタイン計量; ジーゲルモジュラー多様体のトロイダルコンパクト化; トーラス・ファイブレーション; カラビ・ヤオ境界とリッチ平坦計量; 小平次元; ベルグマン核と計量の境界挙動; トーラスファイブレーション; リッチ曲率が負のケーラー・アインシュタイン計量; 境界に沿った留数; 体積増大度

対数的標準束が正値性を持つ滑らかな準射影代数多様体上において, リッチ曲率が負の概完備ケーラー・アインシュタイン計量の存在が, 板東, Tian-Yau, 小林亮一氏らによって証明された. その正値性は境界上では退化することが許されるため, その退化が計量の境界挙動へ及ぼす影響を決定することは興味深い問題である. それに答えを与えるため, 体積増大度予想「体積形式の対数部分の冪に境界の小平次元が関わる」, 留数予想「計量の留数が一般化ケーラー・アインシュタイン計量に一致する」という2つを申請者が提案した. それを解決することが本研究の目的の１つである.昨年度は, 境界の(対数的)小平次元が中間の場合の具体例である, ジーゲルモジュラー多様体のトロイダルコンパクト化に対して, 2つの予想を示すためのアイデアの着想を得た. それは合同部分群問題の解決を用いて, 一般の算術群の場合を主合同部分群の場合に帰着することである. 主合同部分群の場合はW. WangやYau-Zhangの計算を応用することで, 以前に既に解決できていた. 今年度は, このアイデアから正確な証明を構築することに集中し, 完成させることが出来た. 佐竹コンパクト化への標準的な写像を通して, 境界には低次元のジーゲルモジュラー多様体上のトーラスファイブレーションの構造が入る. その得られた結論を述べると, 体積増大度予想に関しては「体積形式の対数部分の冪に, 低次元ジーゲルモジュラー多様体の次元が現れる」である. ここでは低次元ジーゲルモジュラー多様体の次元が(対数的)小平次元と見做せる. 留数予想に関しては「留数は低次元ジーゲルモジュラー多様体のケーラー・アインシュタイン計量の(明示的な)定数倍と一致する」を示した. この定数倍によって, この計量は一般化ケーラー・アインシュタイン計量となっている.

在带有对数标准束的光滑半注射代数歧管上，Bando，Tian-Yau，Kobayashi Ryoichi等证明了存在具有负丰富曲率的粗糙的Kohler-Einstein度量。由于允许其积极性在边界边界上退化，因此确定退化对指标边界行为的影响是一个有趣的问题。为了给出答案，申请人提出了两个预测：“边界微小的维度涉及体积形式的对数部分”，而组成的预测指标“公制的组成部分与广义的kohler-inenstein公制相匹配”。这项研究的目的之一是解决这个问题。去年，去年，我们采用了Siegel模块化流形的（对数）组成尺寸的具体示例，这些歧管是边界（对数）构成维度的具体示例，是边界中间的（对数）组成的尺寸，而组成的预测指标是siegel模质的态度的构成预测器。我们启发了一个想法来展示两个预测。它是将解决方案用于一致的亚组问题，将算术组的情况恢复为主要一致亚组的情况。在主要一致亚组的情况下，它以前是通过应用W. Wang和Yau-Zhang的计算来解决的。今年，我们专注于从这个想法中建立准确的证据，并能够完成它。通过标准映射到SATAKE压实，边界包括低维Siegel模块化歧管上的圆环纤维结构。简而言之，体积增加的预测是“低维siegel模块化歧管的维度出现在体积形式的理想对数部分中。”在这里，我们可以将低维Siegel模块化歧管的尺寸视为（对数）小平面。关于组成数的预测，显示“组成数与低维Siegel模块化歧管的Kohler-Einstein度量的（显式）常数倍数一致。”该常数倍数使该度量成为广义的Kohler-Einstein度量。

项目成果

境界の小平次元が最大・最小の場合のケーラー・アインシュタイン計量の体積増大度

边界小平维数最大和最小时Köhler-Einstein度量的体积增加程度

• 发表时间: 2023
• 作者: Kawai Kotaro;Yamamoto Hikaru;新田泰文;塚本真輝;菊田伸
• 通讯作者: 菊田伸

シーゲルモジュラー多様体上のベルグマン計量の境界挙動

Siegel模流形上Bergmann度量的边界行为

• 发表时间: 2022
• 作者: Kawai Kotaro;Yamamoto Hikaru;菊田伸
• 通讯作者: 菊田伸

境界がカラビ・ヤオの場合のケーラー・アインシュタイン体積形式の公式

当边界为 Calabi-Yao 时的 Köhler-Einstein 体积形式的公式

• 发表时间: 2023
• 作者: 新田泰文;菊田伸
• 通讯作者: 菊田伸

対数的標準束の正値性の退化とケーラー・アインシュタイン計量の留数

对数标准束的正值和凯勒-爱因斯坦度量的残差的退化

• 发表时间: 2022
• 作者: Kawai Kotaro;Yamamoto Hikaru;菊田伸;塚本 真輝;菊田伸
• 通讯作者: 菊田伸