Arakelov geometry over adelic curves

adelic 曲线上的 Arakelov 几何

基本信息

批准号：
21K03203
负责人：
森脇淳
金额：
$ 2.58万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-01 至 2026-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

パリ大学の陳氏と共同研究を進め、アデリック曲線上でのヒルベルト・サミュエル公式の証明が完成したことを受け、応用面の研究に取り組んだ。その成果として、当分布定理、ボゴモロフ予想、力学系における基本定理の拡張という結果を得た。具体的には以下の通りである。体 K は加算濃度を持つ体であるとし、その適正なアデリック構造 S = (K, (Ω,A,ν),ψ) を固定する。X は K 上の幾何学的に既約なd次元の射影代数多様体とし、(L, φ)は X 上の L が豊富であるアデリックな直線束とする。X 上に K 上有理的である生成的な点の列があるとし、その点の高さが、X の高さに収束すると仮定する。このとき、大雑把に言って、点から定まるディラック型の測度が X と L から定まる測度に弱収束するというのが当分布定理である。これは、代数体の場合、1990 年代後半に知られていた定理であるが、今回は、アデリック構造とそれに関するヒルベルト・サミュエル公式を用いることで、加算濃度を持つ体というかなり広い体上で成り立つことの証明が完成した。これの帰結として、その体上でのボゴモロフ予想が導かれることに成功した。さらに、従来、算術的力学系は代数体上での研究が中心であったが、アデリック曲線上での高さ関数の理論を用いることで、加算濃度を持つ体上でも同様のことができることが判明した。その一つとして、算術的力学系における前周期的点の集合の稠密性と高さ関数の関係に関する基本定理が、加算濃度を持つ体上でも成立することがわかった。以上のように、研究は驚くほど順調に進んでいるのだが、書き上げた論文が186ページもあり、出版にいたるまでは、まだ数年かかると予測され、その点が成果の公表という観点から懸念材料である。

他与巴黎大学的陈进行了联合研究，在完成阿德利奇（Adelic Curve）的官方希尔伯特·塞缪尔（Hilbert Samuel）证明后，他从事应用领域的研究。结果作为分布定理，Bogomolov预测以及机械系统中基本定理的扩展。具体而言，以下内容如下。假设身体k是具有额外浓度的身体，其适当的adelic结构s =（k，（ω，a，ν），ψ）是固定的。令x为k上的几何不可差的d维射柱代数歧管，而（l，φ）是一条富含L的富含l的adde tright束。假设x上有一系列在x上的生成点有合理的生成点，并且该点的高度与x的高度相关。在代数体的情况下，这是从X和L确定的度量。这是1990年代后期已知的定理，但是通过使用Adelic结构和Hilbert-Samuel公式，我们已经完成了证据，我们可以在一个相当宽的身体上保存它，并具有添加浓度。结果是，博戈莫洛夫对身体的预测成功得出了。此外，尽管算术机械系统主要集中在代数域的研究上，但已经发现，通过在Adelic曲线上使用高度函数理论，可以在具有附加浓度的字段上完成同样的方法。其中之一是，关于算术力学中一组前碘点的密度和高度功能之间关系之间关系的基本定理在浓度增加的场上也是如此。如上所述，研究的进展表现出色，但是有186页的论文撰写，预计将需要几年的时间才能发表，这是从发布结果的角度出发的关注点。