Arakelov geometry over adelic curves

adelic 曲线上的 Arakelov 几何

基本信息

批准号：
21K03203
负责人：
森脇淳
金额：
$ 2.58万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-01 至 2026-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

パリ大学の陳氏と共同研究を進め、アデリック曲線上でのヒルベルト・サミュエル公式の証明が完成したことを受け、応用面の研究に取り組んだ。その成果として、当分布定理、ボゴモロフ予想、力学系における基本定理の拡張という結果を得た。具体的には以下の通りである。体 K は加算濃度を持つ体であるとし、その適正なアデリック構造 S = (K, (Ω,A,ν),ψ) を固定する。X は K 上の幾何学的に既約なd次元の射影代数多様体とし、(L, φ)は X 上の L が豊富であるアデリックな直線束とする。X 上に K 上有理的である生成的な点の列があるとし、その点の高さが、X の高さに収束すると仮定する。このとき、大雑把に言って、点から定まるディラック型の測度が X と L から定まる測度に弱収束するというのが当分布定理である。これは、代数体の場合、1990 年代後半に知られていた定理であるが、今回は、アデリック構造とそれに関するヒルベルト・サミュエル公式を用いることで、加算濃度を持つ体というかなり広い体上で成り立つことの証明が完成した。これの帰結として、その体上でのボゴモロフ予想が導かれることに成功した。さらに、従来、算術的力学系は代数体上での研究が中心であったが、アデリック曲線上での高さ関数の理論を用いることで、加算濃度を持つ体上でも同様のことができることが判明した。その一つとして、算術的力学系における前周期的点の集合の稠密性と高さ関数の関係に関する基本定理が、加算濃度を持つ体上でも成立することがわかった。以上のように、研究は驚くほど順調に進んでいるのだが、書き上げた論文が186ページもあり、出版にいたるまでは、まだ数年かかると予測され、その点が成果の公表という観点から懸念材料である。

在与巴黎大学的陈先生合作，完成了Adelic曲线上的Hilbert-Samuel公式的证明后，他开始了应用方面的研究。结果，我们得到了分布定理、博戈莫洛夫猜想以及动力系统基本定理的推广。具体而言，详细如下。设域K为具有加性基数的域，并固定其适当的Adelic结构S = (K, (Ω,A,ν),ψ)。令 X 为 K 上的几何不可约 d 维射影代数簇，并令 (L, φ) 为 X 上的富 L 的真数线丛。假设 X 上存在一系列在 K 上有理数的生成点，并且这些点的高度收敛于 X 的高度。在这种情况下，粗略地说，分布定理指出，根据点确定的狄拉克型测度弱收敛于根据 X 和 L 确定的测度。这是一个在 20 世纪 90 年代末在代数域中广为人知的定理，但这一次，通过使用 Adelic 结构和与之相关的希尔伯特-塞缪尔公式，它在具有加性基数的相当广泛的域上成立。至此已经完成。由此，成功导出了关于物体的博戈莫洛夫猜想。此外，传统上，算术和动力系统的研究主要集中在代数域上，但事实证明，通过使用阿代尔曲线上的高度函数理论，可以在具有加性基数的域上做同样的事情。作为一个例子，我们发现关于算术动力系统中一组前周期点的稠密与高度函数之间关系的基本定理也适用于具有加性基数的域。如上所述，研究进展出人意料地顺利，但已写出的论文长达186页，预计需要数年时间才能发表，从发表结果的角度来看，这是一个令人担忧的问题。这是材料。