非アルキメデス的幾何のアラケロフ幾何への融合

非阿基米德几何与阿拉克洛夫几何的融合

• 批准号: 18K03211
• 负责人: 山木 壱彦
• 金额: $ 2.83万
• 依托单位: University of Tsukuba (2021-2022)Kyoto University (2018-2020)
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2018
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2018-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-18K03211/
• 关键词: トロピカル幾何; ベルコビッチ空間; スケルトン; テータ函数; 非アルキメデス的幾何; 幾何的ボゴモロフ予想; アラケロフ幾何; 凸幾何; ハイブリッド空間

非アルキメデス幾何における重要な空間概念の一つとして、ベルコビッチ解析空間がある。この空間は、位相空間として比較的扱いやすい性質をもっており、例えば測度論的議論が可能であるなど、古典的には複素解析空間でなされていた議論の類似が可能となる。こうした性質により、近年では、アラケロフ幾何において無限素点上の複素解析空間の有限素体上の代替物として、重要な役割を果たしており、その性質を研究することは重要となっている。ベルコビッチ解析空間を調べるにあたって、その有限近似である「トロピカル化」を研究することは有意義である。「トロピカル化」と表される概念には二種類あって、一つはベルコビッチ空間においてその主要部分になり得る「スケルトン」、もう一つは、付値写像による像として現れる多面体的複体（トロピカル多様体）である。これらは互いに異なる対象ではあるが、共に（少なくとも区分的には）整構造をもった多面体が組み合わさった構造をしており、似た部分も多い。この二つが単に似ているというだけでなく、実際に適当な意味で「（ほぼ）同一である」ということを見出す問題として、「忠実トロピカル化問題」が知られている。この問題は、スケルトンをトロピカル射影空間に「埋め込む」問題と言い換えることもできる。当該年度においては、非アルキメデス的体上で定義されたアーベル多様体に対して、その標準的スケルトンを、非アルキメデス的テータ函数を使って忠実トロピカル化する問題について、共同研究者と共に考察した。その結果、古典的な複素数体上の結果（テータ函数でアーベル多様体を射影空間に埋め込む話）と類似した現象が観察された。この研究が現在進行中であり、近いうちに公表できると考えている。

非阿基米德几何中重要的空间概念之一是伯科维奇解析空间。该空间具有作为拓扑空间相对容易处理的特性，使得可以进行基于测度的论证，类似于复杂分析空间中经典的论证。由于这些性质，近年来它作为有限素数域上无限素点上的复解析空间的替代在阿拉克洛夫几何中发挥了重要作用，研究其性质具有重要意义。在研究伯科维奇解析空间时，研究其有限近似“热带化”是有意义的。表达为“热带化”的概念有两类：一类是可以成为伯科维奇空间主要部分的“骨架”，另一类是多面体复形（热带流形）。虽然这些物体彼此不同，但它们的结构都是多面体与规则结构（至少是分段的）的组合，并且有许多相似的部分。 “忠实的热带化问题”被认为是发现这两件事不仅相似，而且实际上在适当的意义上“（几乎）相同”的问题。这个问题也可以重新表述为在热带投影空间中“嵌入”骨架的问题。今年，我与合作者一起考虑了使用非阿基米德 theta 函数忠实地热带化在非阿基米德域上定义的阿贝尔簇的标准骨架的问题。结果，观察到了类似于复数域上的经典结果（使用 theta 函数将阿贝尔簇嵌入射影空间）的现象。这项研究目前正在进行中，我们希望能够尽快发表。

项目成果

Ample divisors on tropical toric varieties

热带复曲面品种的充足除数

• 发表时间: 2019
• 作者: Sungmun Cho;Shunsuke Yamana;Takuya Yamauchi;山名 俊介;Kazuhiko Yamaki;Kazuhiko Yamaki
• 通讯作者: Kazuhiko Yamaki

Ample divisors on tropical varieties

热带品种的充足除数

• 发表时间: 2019
• 作者: Sungmun Cho;Shunsuke Yamana;Takuya Yamauchi;山名 俊介;Kazuhiko Yamaki
• 通讯作者: Kazuhiko Yamaki

多面体的多様体の因子に付随した忠実埋め込み

与多面体流形因子相关的忠实嵌入

• 发表时间: 2022
• 作者: 山木壱彦

幾何的ボゴモロフ予想の進展

几何博戈莫洛夫猜想的进展

• 发表时间: 2021
• 作者: Kazuhiko Yamaki;山木 壱彦
• 通讯作者: 山木 壱彦

Progress in the geometric Bogomolov conjecture

几何博戈莫洛夫猜想的进展

• 发表时间: 2021
• 作者: Kazuhiko Yamaki