係数環付きアーベル多様体のモジュライ空間のコンパクト化と log 幾何

用系数环和对数几何对阿贝尔簇的模空间进行紧化

• 批准号: 21K03199
• 负责人: 中山 能力
• 金额: $ 1.25万
• 依托单位: Hitotsubashi University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2021
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2021-04-01 至 2026-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21K03199/
• 关键词: アーベル多様体; 対数幾何; 代数幾何

当研究は係数環付きアーベル多様体のモジュライ空間のコンパクト化を、log 幾何を用い、係数環付き log アーベル多様体のモジュライ空間として構成し、その性質や関連する課題を調べ応用することを目指すものであった。2022 年度は、2021 年度に策定したおおまかな方針に基づいて細部の検証を続けた結果、その方針で空間自体の構成が達成できることを確認することができた。具体的には、まず同種を modulo としてモジュライ関手を書き直すことによって偏極が principal な場合だけを扱うことにでき、その場合の双対 log アーベル多様体を偏極の像として定義する。その上で、問題のモジュライ関手からすでに構成されている係数環なしの場合のモジュライ空間への、係数を忘れるという射を考え、それが相対的に表現可能であることを、２つの log アーベル多様体間の準同型のなす Hom 層の表現可能性に帰着させて示すことができた。これで空間自体は構成できたことになる。また先行研究では条件つきでしか確認できていなかった log Artin criterion を改良してそれを用いる形の別証明も得ることができた。さらにこの構成された空間が log smooth であることも、係数付き log アーベル多様体の無限小持ち上げの問題となるが、係数が持ち上げられることを東屋多元環の一般論を援用して示し、それを用いて確かめることができた。ただ以上のモジュライ問題の定式化では、log 幾何を用いない先行研究にならい、標数にあたる素数の集合を固定した上で、偏極がそれらと素であるという仮定を置いているが、その素数の集合を取り替えた場合も空間が同型になるのかどうかは完全にはわかっておらず、今後の研究課題である。

本研究旨在利用对数几何作为带系数环的对数阿贝尔簇的模空间来压缩带系数环的阿贝尔簇的模空间，并研究其性质和相关问题并加以应用。 2022年，我们根据2021年制定的总体政策继续验证细节，结果我们能够确认空间本身的配置可以通过该政策实现。具体来说，通过首先用与模相同的类型重写模函子，我们只能处理偏振为主的情况，在这种情况下，我们将双对数阿贝尔簇定义为偏振的图像。然后，我们考虑一种态射，其中我们忘记了模空间的系数，而没有从所讨论的模函子构造的系数环，并表明它可以使用两个对数阿贝尔算子相对表达我们能够证明 Hom 层是由于流形之间的同态而可表达。该空间本身现已建成。此外，我们还能够改进在之前的研究中只能有条件确认的log Artin准则，并利用它获得不同的证明。此外，这个构造的空间是对数平滑的事实也提出了对数阿贝尔簇系数的无穷小提升的问题，但我们证明了系数是通过使用 Azumaya 代数的一般理论来提升的，并且我们证明我能够通过使用来确认这一点在上述模问题的表述中，根据之前不使用对数几何的研究，我们固定了与特征对应的素数集，并假设极化对它们来说是素数，空间是否会变得不完全清楚。即使 的集合被替换，也是同构的，这是未来研究的课题。

项目成果

Logarithmic abelian varieties, Part VII: Moduli

对数阿贝尔簇，第七部分：模数

• 发表时间: 2021
• 期刊: Yokohama Mathematical Journal
• 作者: Kajiwara, T.

Moduli of logarithmic abelian varieties with PEL structure

具有PEL结构的对数阿贝尔簇的模

• 发表时间: 2022
• 作者: 伊藤 敦;Chikara Nakayama
• 通讯作者: Chikara Nakayama

シカゴ大学(米国)

芝加哥大学（美国）

Log Hodge theory

对数霍奇理论

• 发表时间: 2011
• 作者: 宇野勝博;功刀直子;C. Nakayama;山根宏之;佐々木 洋城;脇克志;Chikara Nakayama;山根宏之;宇野勝博;山根宏之;C. Nakayama;脇克志;山根宏之;C. Nakayama;飛田明彦;山根宏之;Chikara Nakayama
• 通讯作者: Chikara Nakayama