アフィン超リー代数の狭ヴァーマ加群の構造解明およびワイル亜群との関連

仿射超李代数窄Verma模的结构及其与Weyl子群的关系的阐明

• 批准号: 21K03177
• 负责人: 古閑 義之
• 金额: $ 2.41万
• 依托单位: University of Fukui
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2021
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2021-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21K03177/
• 关键词: アフィン超リー代数; ワイル亜群

本研究課題では、アフィン超リー代数のある特別なタイプの一般化されたヴァーマ加群である狭ヴァーマ加群の構造を主な対象としている。令和4年度までに sl(n,1)型アフィン超リー代数の可積分最高ウェイトの場合に、その構造を調べ、その結果としてBGGレゾリューションを構成した。本年度は、sl(n,1)型の次に構造の簡明なsl(2,2)型のアフィン超リー代数の構造を調べることを予定していた。sl(2,2)型のアフィン超リー代数の場合、狭ヴァーマ加群の構造を記述する奇鏡映が、sl(n,1)型の場合と比較して複雑である。この問題を解決するため、最初にsl(2,2)型の有限次元単純超リー代数の場合の狭ヴァーマ加群の構造を調べることとした。その結果、これまでに知られていなかった新たな狭ヴァーマ加群の同型を得ることができ、それを用いて,sl(2,2)型の有限次元単純超リー代数の場合にはBGGレゾリューションを構成した。この研究には, sl(2,2)型の超リー代数の交換関係を用いた計算が必要となるため、その計算処理を自動化するためのプログラム作成も行なった。sl(2,2)型の有限次元単純超リー代数の場合を調べた結果、sl(n,1)型の場合と異なり、狭ヴァーマ加群の部分加群として、必ずしも狭ヴァーマ加群でないものが現れるという困難が明らかになった。本年度はこの困難の完全な解消には至っておらず、令和5年度はこの点について引き続き研究を行う。なお本研究は、福井大学の松本拓也氏との共同研究として実施した。

该研究主题主要集中于狭窄的Verma组的结构，Verma群是具有仿射超级代数的特殊类型的广义Verma组。到2022财政年度，研究了SL（N，1）类型的Aggine超级LE代数的最大整合权重，因此，构建了BGG分辨率。今年，我们计划研究SL（2,2）类型的仿射超级代数的结构，该结构在SL（N，1）类型之后具有简单的结构。对于SL（2,2）类型仿射超级代数，与SL（n，1）类型的情况相比，描述狭窄Verma组结构的奇数镜像很复杂。为了解决这个问题，我们首先研究了SL（2,2）类型的有限维度简单超级代数的狭窄的Verma组的结构。结果，获得了先前未知的狭窄Verma基团的新同构，并在SL（2,2）类型的有限二维简单的超级LIE代数的情况下构建了BGG分辨率。这项研究需要使用SL（2,2）类型超级代数的交换关系进行计算，因此，还创建了一个程序来自动化计算过程。对SL（2,2）类型的有限维度简单的超级代数的调查表明，与SL（N，1）类型的情况不同，不一定是狭窄的Verma组的局部组的困难。今年尚未完全解决这一困难，我们将继续研究2023财年的这一点。这项研究是与福生大学的Matsumoto Takuy​​a合作进行的。