Algebro-geometric study of iterated Frobenius direct images on del Pezzo surfaces in positive characteristic

del Pezzo 表面正特征迭代 Frobenius 直接像的代数几何研究

• 批准号: 21K03157
• 负责人: 原 伸生
• 金额: $ 1万
• 依托单位: Tokyo University of Agriculture and Technology
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2021
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2021-04-01 至 2025-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21K03157/
• 关键词: 正標数; Frobenius直像; del Pezzo曲面; 反標準束（反標準環）; 代数幾何; 有限F-表現型（FFRT）; del Pezzo 曲面; フロベニウス直像; 反標準束; 有限F表現型（FFRT）

正標数pの代数閉体k上の非特異5次del Pezzo曲面Xの反標準束をLとするとき，非負整数n,eに対してn重反標準束L^nのe次Frobenius直像(F^e)_*(L^n)は階数q^2のベクトル束である．ただし，q＝p^e とおいた．このFrobenius 直像を直既約ベクトル束の直和に分解する際に現れる直和因子の同型類が，Lによる整数回のtwistを法として高々有限個であることが最近Malloryによって証明されたが（Xの反標準環のFFRT性)，その証明から具体的にどのような同型類が現れるかについての情報は得られない．本研究の目的の一つは，上記Frobenius直像の直既約直和因子（以下においてFrobenius summandとよぶ）を分類することであり，過去数年間において，標数が p＝2,3 の場合（nは任意）と，奇標数pで n＝0, (p^e－1)/2の場合については分類が完成したが，奇標数で一般のnの場合については未だ未解決である．この一般の場合を考察するために，ベクトル束EがFrobenius直像の直和因子として現れる重複度がベクトル空間の"pairing"Hom(E,(F^e)_*(L^n))×Hom((F^e)_*(L^n),E)→Hom(E,E)＝kの階数と一致することを用いて，これを計算することによりFrobenius summandを決定する方法について考察した．この方法をn＝0の場合（O_X，B，L_i（i=0,1,2,3,4)，G の8種類のベクトル束がFrobenius summandとして既知）に適用したところ，B,L_i,G の重複度をそれぞれb,l,gとして，関係式g+l＝(q-1)(q-2)/2, b+l＝q-1が得られ，これからn＝0の場合の結果の別証明が得られることを観察した．

设 L 为正特征 p 的代数闭域 k 上的非奇异 5 阶 del Pezzo 曲面 X 的反标准丛，则图像 (F^e)_*(L^n) 是秩为 q^ 的向量丛2.然而，我们设置 q=p^e。 Mallory 最近证明，当将此 Frobenius 直接图像分解为直接不可约向量束的直和（以 L 的整数个扭曲为模）时，最多存在有限数量的直和因子同构。（反函数的 FFRT 性质- 规范环本研究的目的之一是对上述Frobenius直接图像（其中n是任意）的不可约直和因子（以下简称Frobenius被加数）和奇数特征p且n=0的情况进行分类，（p）。 ^e−1)/2，分类已经完成，但一般n具有奇数特征的情况仍未解决。为了考虑这种一般情况，向量丛 E 作为 Frobenius 直接图像的直和因子出现的重数度是向量空间 Hom(E,(F^e)_*(L^n) 的“配对” ))× 考虑到Hom((F^e)_*(L^n),E)→Hom(E,E)=匹配k的秩，我们将考虑如何通过计算来确定Frobenius被加数。做过。当该方法应用于n=0的情况时（8种向量束O_X、B、L_i（i=0、1、2、3、4）、G称为Frobenius被加数），B、L_i，设G的重数为b、l、g，则关系式g+l=(q-1)(q-2)/2，我们得到 b + l = q-1 并观察到，由此我们可以得到当 n = 0 时结果的另一个证明。