Algebro-geometric study of iterated Frobenius direct images on del Pezzo surfaces in positive characteristic

del Pezzo 表面正特征迭代 Frobenius 直接像的代数几何研究

• 批准号: 21K03157
• 负责人: 原 伸生
• 金额: $ 1万
• 依托单位: Tokyo University of Agriculture and Technology
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2021
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2021-04-01 至 2025-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21K03157/
• 关键词: 正標数; Frobenius直像; del Pezzo曲面; 反標準束（反標準環）; 代数幾何; 有限F-表現型（FFRT）; del Pezzo 曲面; フロベニウス直像; 反標準束; 有限F表現型（FFRT）

正標数pの代数閉体k上の非特異5次del Pezzo曲面Xの反標準束をLとするとき，非負整数n,eに対してn重反標準束L^nのe次Frobenius直像(F^e)_*(L^n)は階数q^2のベクトル束である．ただし，q＝p^e とおいた．このFrobenius 直像を直既約ベクトル束の直和に分解する際に現れる直和因子の同型類が，Lによる整数回のtwistを法として高々有限個であることが最近Malloryによって証明されたが（Xの反標準環のFFRT性)，その証明から具体的にどのような同型類が現れるかについての情報は得られない．本研究の目的の一つは，上記Frobenius直像の直既約直和因子（以下においてFrobenius summandとよぶ）を分類することであり，過去数年間において，標数が p＝2,3 の場合（nは任意）と，奇標数pで n＝0, (p^e－1)/2の場合については分類が完成したが，奇標数で一般のnの場合については未だ未解決である．この一般の場合を考察するために，ベクトル束EがFrobenius直像の直和因子として現れる重複度がベクトル空間の"pairing"Hom(E,(F^e)_*(L^n))×Hom((F^e)_*(L^n),E)→Hom(E,E)＝kの階数と一致することを用いて，これを計算することによりFrobenius summandを決定する方法について考察した．この方法をn＝0の場合（O_X，B，L_i（i=0,1,2,3,4)，G の8種類のベクトル束がFrobenius summandとして既知）に適用したところ，B,L_i,G の重複度をそれぞれb,l,gとして，関係式g+l＝(q-1)(q-2)/2, b+l＝q-1が得られ，これからn＝0の場合の結果の別証明が得られることを観察した．

当l是阳性表示p的代数闭合场k上的非电源五阶del pezzo表面X的反标准捆，对于非阴性整数N和E时，n-Complete标准的bundle l^n是一个n-Complet bundle l^n的frobenius frobenius直接图像（f^e）_*（f^e）_*（l^n）。但是，它设置为q = p^e。马洛里（Mallory）最近证明，分解为直接不可约合矢量束的直接总和最多是有限数字的直接总和因子的同构，但使用l（X抗标准环的FFRT性质）的数字最多是有限数字，但是此证明并未提供有关特定类型的同构的信息。这项研究的目的之一是对Frobenius直接图像进行直接不可还原的总和因子（以下称为Frobenius Summand）进行分类，并且在过去的几年中，对于标记p = 2,3（n为n是可选的），并且在奇数标记为n = 0 n = 0 n = e-1）的情况下完成了分类（n是可选的），但奇数是奇数，是奇数是奇数，是奇数是奇数。要考虑这种普遍情况，我们考虑了一种通过使用以下事实来确定Frobenius总结的方法，即矢量束E作为Frobenius图像的直接总和与“配对” hom（e，（f^e）_*（f^e）_*（l^n）×hom（f^e）^e（e）的直接总和相吻合。当将此方法应用于n = 0（O_x，b，l_i（i = 0,1,2,3,4）和八个G载体捆绑包的情况下，我们被称为Frobenius Summand）时，我们观察到关系G+L =（Q-1）（q-1）/2，B+l = Q-1，从中获得不同的n = 0 n = 0。