幾何学的群論とK3曲面 --- Gromov双曲性による自己同型群へのアプローチ

几何群论和K3曲面——使用格罗莫夫双曲线的自同构群方法

• 批准号: 21J13227
• 负责人: 高津 大樹
• 金额: $ 0.96万
• 依托单位: Tokyo Institute of Technology
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2021
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2021-04-28 至 2023-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21J13227/
• 关键词: K3曲面; 自己同型群

昨年度に引き続き、楕円的K3曲面の自己同型群について、特にその実質的コホモロジー次元（以下、vcd）について調べた。本研究では、幾何学的群論を用いた自己同型群の分類理論の構築やvcdの計算手法の確立を目的としている。昨年度は、楕円的K3曲面、エンリケス曲面、Coble曲面の自己同型群のvcdに関する予想からvcdをピカール数で不等式評価することを試みていた。この不等式は既知であるものの幾何学的群論の応用可能性探索のため調べていた。結果、Mordell-Weil群の階数が2以上となる楕円曲面構造が存在するという条件付きではあるが、幾何学的群論を用いて比較的容易に示すことができ、このことを昨年度の報告書に記載した。しかし、この手法も本質的に既知であるとのご指摘を頂いたため、ここで訂正したい。本年度は新たに、楕円的K3曲面の自己同型群が幾何学的群論の対象として、どのような枠組みに属しているか、という観点から調べた。幾何学的群論における基本的な対象に双曲群というものがあるが、双曲群は階数２の自由アーベル群を含まないことが知られている。よって、楕円的K3曲面の自己同型群は一般に双曲群にはならない。そのためより広く研究調査をし、幾何学群論や古典的な双曲多様体などの言葉で楕円的K3曲面の自己同型群を捉えたい、という方針を立てた。しかしながら今のところ、vcdを計算する上で有用な枠組みが見つからず、引き続き今後の研究課題として残っている。

继去年之后，我们研究了椭圆K3曲面的自同构群，特别是它的实质上同调维数（以下简称vcd）。本研究的目的是利用几何群论构建自守群的分类理论，并建立VCD的计算方法。去年，我尝试根据椭圆 K3 曲面、Enriquez 曲面和 Coble 曲面的自同构群 vcd 的猜想，使用皮卡德数来评估 vcd 的不等式。尽管这个不等式是已知的，但我正在研究它以探索将其应用于几何群论的可能性。结果，我们能够使用几何群理论相对容易地证明这一点，条件是存在莫德尔-韦尔群等级为 2 或更高的椭圆表面结构，我们在去年的报告中对此进行了描述。不过，由于我收到评论说这种方法本质上是已知的，所以我想在这里进行更正。今年，我们从椭圆K3曲面作为几何群论对象属于什么样的框架的角度，对椭圆K3曲面的自同构群进行了新的研究。几何群论中的一个基本对象是双曲群，但众所周知，双曲群不包括2阶自由阿贝尔群。因此，椭圆K3面的自同构群一般不是双曲群。为此，我进行了更广泛的研究，并决定尝试使用几何群论和经典双曲流形等术语来理解椭圆 K3 曲面的自同构群。然而，到目前为止，还没有找到计算 vcd 的有用框架，这仍然是未来研究的主题。