Topological recursion, the Laplace transform, and integrable systems

拓扑递归、拉普拉斯变换和可积系统

基本信息

  • 批准号:
    1104734
  • 负责人:
  • 金额:
    $ 10.72万
  • 依托单位:
  • 依托单位国家:
    美国
  • 项目类别:
    Standard Grant
  • 财政年份:
    2011
  • 资助国家:
    美国
  • 起止时间:
    2011-06-01 至 2015-05-31
  • 项目状态:
    已结题

项目摘要

AbstractAward: DMS-1104734Principal Investigator: Motohico MulaseThe project is aimed at identifying the geometric structure of theEynard-Orantin recursion formula that was originally discovered inrandom matrix theory and statistical physics. A particular emphasis ofthe project is placed on developing a point of view of the Laplacetransform as the mirror map. The goal of the project is to solve theRemodeling Conjecture in algebraic geometry due to string theoryphysicists Marino and Bouchard-Klemm-Marino-Pasquetti. The RemodelingConjecture presents a concrete and universal recursion formula, basedon the complex analysis of a Riemann surface, that computes bothclosed and open Gromov-Witten invariants of an arbitrary toricCalabi-Yau 3-fold. Bouchard and Marino proposed a conjecture onHurwitz numbers as a limit case of the Remodeling Cojecture. Theydefined a sequence of generating functions of simple Hurwitz numbers,and conjectured that these quantities satisfy the Eynard-Orantinrecursion formula. The Bouchard-Marino conjecture was solved by the PIand his collaborators in 2009-10. The current understanding that hasemerged since the publication of the PI's papers is thefollowing. The Gromov-Witten theory of a toric Calabi-Yau 3-fold is acombinatorial counting problem on the A-model side of a topologicalstring theory. The generating function of the solution to thiscounting problem satisfies a combinatorial equation, called the cut-and-join equation by Zhou. Now take the Laplace transform of thisfunction. The result is a symmetric meromorphic function defined onthe product of a Riemann surface. This Riemann surface is identifiedas the mirror curve of the toric Calabi-Yau 3-fold. The Laplacetransform of the combinatorial equation becomes (conjecturally) theEynard-Orantin recursion on the B-model side. The PI'scontribution to this general picture is the identification of the roleof the Laplace transform as the mirror map. This type of the Laplacetransform was further investigated in the PI's recent papers, andhas been utilized by other researchers in solving many relatedproblems.Pure mathematical research is about a sharp excitement ofdiscovery. This excitement energizes young students in scienceand engineering. The PI has been collaborating with bothundergraduate and graduate students, engaging them into the heartof the research excitement. Instead of peeking into researchexperience, these students have participated in the realexcitement of mathematical discovery. These lasting impacts haveinspired the students to become research mathematicians, and theyare continuing to produce new results. The relation betweenalgebraic geometry, symplectic geometry, combinatorics, randommatrix theory, topology, integrable systems, and string theory inthe Gromov-Witten theory was apparent in the early 1990s. After along time of extremely fruitful developments in each individualarea, we are back to a new level of interaction onceagain. Instead of pushing an existing problem or conjecture, theproposed project is aimed at understanding a new point ofview. It is expected to bring a further cross-fertilization ofthese quite different ideas/areas in mathematical sciences. ThePI has organized several workshops specifically aimed at thissubject in the last two and a half years, which were attended bymany young researchers. He will continue to do so for furtherdissemination.
摘要奖项:DMS-1104734 首席研究员:Motohico Mulase 该项目旨在识别最初在随机矩阵理论和统计物理学中发现的 Eynard-Orantin 递推公式的几何结构。该项目的特别重点是开发拉普拉斯变换作为镜像映射的观点。该项目的目标是解决弦论物理学家 Marino 和 Bouchard-Klemm-Marino-Pasquetti 提出的代数几何重塑猜想。重塑猜想提出了一个基于黎曼曲面的复分析的具体且通用的递归公式,该公式计算任意复曲面 Calabi-Yau 3 倍的闭式和开式 Gromov-Witten 不变量。 布沙尔和马里诺提出了关于赫维茨数的猜想作为重塑猜想的极限情况。他们定义了一系列简单赫尔维茨数的生成函数,并推测这些量满足艾纳德-奥朗坦递推公式。 Bouchard-Marino 猜想由 PI 及其合作者于 2009 年 10 月解决。自 PI 论文发表以来目前出现的理解如下。环面 Calabi-Yau 3 重的 Gromov-Witten 理论是拓扑弦理论 A 模型方面的组合计数问题。这个计数问题的解的生成函数满足一个组合方程,周称为割并连接方程。 现在对该函数进行拉普拉斯变换。结果是在黎曼曲面的乘积上定义的对称亚纯函数。 该黎曼曲面被确定为三倍复曲面 Calabi-Yau 的镜像曲线。组合方程的拉普拉斯变换(推测)变为 B 模型侧的 Eynard-Orantin 递归。 PI 对这幅总体图景的贡献是识别了拉普拉斯变换作为镜像映射的作用。这种类型的拉普拉斯变换在 PI 最近的论文中得到了进一步研究,并已被其他研究人员用来解决许多相关问题。纯数学研究是关于发现的强烈兴奋。这种兴奋感激发了科学与工程领域的年轻学生。 PI 一直与本科生和研究生合作,让他们参与研究的核心。这些学生没有去探究研究经验,而是参与了数学发现的真正兴奋。这些持久的影响激励学生成为研究数学家,并且他们正在不断取得新的成果。代数几何、辛几何、组合数学、随机矩阵理论、拓扑、可积系统和格罗莫夫-维滕理论中的弦理论之间的关系在 20 世纪 90 年代初就很明显。经过一段时间在各个领域取得极其卓有成效的发展后,我们再次回到了新的互动水平。拟议的项目旨在理解新的观点,而不是推动现有的问题或猜想。预计它将为数学科学中这些截然不同的想法/领域带来进一步的交叉融合。 在过去的两年半里,PI 专门针对这一主题组织了多次研讨会,许多年轻研究人员参加了这些研讨会。 他将继续这样做以进一步传播。

项目成果

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