Recursion Theory and Effective Aspects of Randomness

递归理论和随机性的有效方面

基本信息

  • 批准号:
    0501167
  • 负责人:
  • 金额:
    --
  • 依托单位:
  • 依托单位国家:
    美国
  • 项目类别:
    Continuing Grant
  • 财政年份:
    2005
  • 资助国家:
    美国
  • 起止时间:
    2005-07-01 至 2010-06-30
  • 项目状态:
    已结题

项目摘要

Slaman proposes to investigate the effective aspects of randomness. The central questionto be answered is, "How can we evaluate the random content of an infinite binarysequence?" One case is well understood, that in which an infinite sequence X of 0'sand 1's is random if and only if each digit is chosen independently and with equalprobability for the values of 0 and 1. In this case, X's being effectively random hasbeen equivalently characterized by Martin-Lof in terms of X's having the propertiesof almost all infinite sequences and by Kolmogorov and others in terms of X's beingunpredictable and indescribable. Slaman proposes to study the non-uniform case, itsassociated criteria for effective randomness, and its possibilities for the sets of randomsequences. Even the most basic questions are open. For example, for a given infi-nite binary sequence X, under what conditions does there exist a measure relative towhich X is random? This is a classic mathematical problem, given an individual dataset determine a distribution which would generate it. Qualitatively, a measure relativeto which X is random concentrates on the nonrandom aspects of X and thereby separatesthose from the random ones. Other ways to quantify X's random content includethe complexity of X's initial segments and X's ability to compute uniformly randomsequences. The proposal is to investigate all of these and the relationships betweenthem.
斯拉曼建议研究随机性的有效方面。要回答的中心问题是“我们如何评估无限二进制序列的随机内容?”一种情况很好理解,其中 0 和 1 的无限序列 X 是随机的,当且仅当每个数字都是独立选择的,并且 0 和 1 的值具有相等的概率。在这种情况下,X 的有效随机性等效于Martin-Lof 认为 X 具有几乎所有无限序列的性质,Kolmogorov 等人则认为 X 是不可预测和不可描述的。斯拉曼建议研究非均匀情况、其有效随机性的相关标准及其随机序列集的可能性。即使是最基本的问题也是开放的。例如,对于给定的无限二元序列X,在什么条件下存在相对于X是随机的测度?这是一个经典的数学问题,给定一个单独的数据集确定生成它的分布。定性地,与 X 随机相关的度量集中于 X 的非随机方面,从而将这些方面与随机方面分开。量化 X 随机内容的其他方法包括 X 初始段的复杂性和 X 计算均匀随机序列的能力。建议调查所有这些以及它们之间的关系。

项目成果

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