辫子群酉表示与模块化张量范畴中的量子信息与拓扑量子计算

Quantum information and quantum computation are new interdisciplinary fields that integrate physics, computer science, and mathematics. It is currently the priority area of national scientific and technological development. This project intends to use modern mathematical tools such as the weight representation theory of Lie algebra, the unitary representation theory of braid group, and the modular tensor category theory to study quantum information and topological quantum computation. Firstly, through learning the categorization quantum mechanics and topological quantum computation, we will try to understand the mathematical mechanism of the unitary representation of braid group and the modular tensor category in topological quantum computing. At the same time, the weight representation theory of Lie algebra is used to give the variance-based sum uncertainty of semisimple Lie algebra, and it will be proved that it is independent with the choice of quantum states. In addition, we will also consider using the properties of special unitary Lie algebras to optimize the existing spin squeezing inequalities for judging whether a quantum state is entangled or not, and extend it.

量子信息与量子计算是综合了物理学、计算机科学和数学等多学科的新型交叉学科领域，是目前国家科技发展的优先领域。本项目拟用李代数权表示理论、辫子群酉表示理论，模块化张量范畴理论等现代数学工具来研究量子信息与拓扑量子计算。首先将通过学习范畴化量子力学与拓扑量子计算，试图弄清楚辫子群酉表示和模块化张量范畴在拓扑量子计算中的数学机理。同时，用李代数权表示理论给出半单李代数的基于方差的和不确定性，并将证明其与量子态的选取无关。另外，也将考虑利用特殊酉李代数的性质优化已有的判断量子态是否纠缠的自旋压缩不等式，并将其推广。

量子信息与量子计算是自20世纪八十年代发展起来的一个多学科交叉领域，涵盖物理学、计算机科学与数学等，已成为国家科技重点发展方向。拓扑量子计算机具有优越的稳定性和容错性，故成为国内外重点研究的实现通用量子计算的一种方案。拓扑量子计算机的设计基于量子场论。在拓扑量子场论中，拓扑态是指一种量子态，其性质由系统的拓扑性质决定，与具体的微观细节无关。传统量子计算中，量子比特容易受到环境噪声和其他干扰，导致信息丢失。拓扑量子计算利用拓扑量子态，对局部扰动不敏感，通过拓扑绝缘体和特殊设计的拓扑量子门实现容错，具有更好的稳定性和容错性。在这一方法中，信息存储在许多任意子系统的最低能态中，并通过任意子来进行处理。通过将任意子聚集在一起并观察结果，可以访问计算的答案。. 我们通过开设张量范畴与拓扑量子计算讨论班，已经对第一项研究内容(即拓扑量子计算中的数学机理)有了更深入的理解。在任意子系统，可以利用作用于融合空间的辫子算符实现任意子量子计算，任意子可以被解释为某些Ribbon Fusion范畴(RFCs)中的简单对象，任意子系统定义了幺正模张量范畴，这是具有非退化辫子条件的 RFCs，并且具有与结合子相容的同态集上的一组共轭形式。任意子系统与RFCs之间存在一一对应关系，这种对应关系意味着任意子系统引发了辫子群表示。. 此外，我们还完成了第二项研究内容，即不确定性关系的研究。我们给出了基于度量修正的斜信息的不确定性关系以及基于斜信息的不确定性关系。这两项成果给出了较之前更紧致的不确定性关系的界，一定程度上能为实验人员提供理论指导，均已公开发表并被SCI收录。同时，我们还完成了基于特殊线性酉李代数的加权不确定性关系，这项工作有望在2024年公开发表，可为与态无关的加权不确定性关系的研究提供新的视角。

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