自旋圈积群与多项式函子

After Specht and Macdonald’s classic works on symmetric groups and wreath products, the wreath product becomes one of the important research objects of representation theory. In 1980 Macdonald constructed all irreducible modules of wreath products by polynomial functors. This categorification perfectly shows that there is an equivalence between the category of homogeneous irreducible polynomial functors of degree n and the category of finite dimensional modules of the wreath product. Recently, an important part of Schur’s classical work on spin (or projective) representations of the symmetric groups has been extended into the wreath products by the applicant and her collaborator. They completed the spin character tables of wreath products...Based on the applicant and her collaborator’s work , this project aims to extend Macdonald’s categorification to the spin representations of the wreath products. More specifically, we will construct the spin modules of the wreath products by analogous "projective"(or "spin") polynomial functors and then show that there is an equivalence between the category of homogeneous irreducible spin polynomial functors of degree n and the category of finite dimensional irreducible spin modules of the wreath product. This categorification will reveal the intrinsic significance of the projective representations. Our work has a strong Lie theoretical background, in particular, it will provide categorification and topological interpretations of projective characters of some classical Weyl groups and their wreath products.

对称群及圈积群经Specht和Macdonald的经典工作之后成为表示论的重要研究对象之一。 1980年，Macdonald提出一套范畴化方法，即用多项式函子构造出圈积群的不可约模。Macdonald的这一方法给出了圈积群的有限维不可约模与度为n的齐次不可约多项式函子间的等价关系。最近，项目申请人和合作者把Schur在对称群射影表示上的一个重要部分成功推广到圈积群上，从而完善了圈积群的射影特征标表。结合申请人在圈积群射影表示上的研究，本项目主要研究计划是推广Macdonald的范畴化方法，即构造新的射影(或自旋)多项式函子来研究圈积群的射影表示，并证明射影多项式函子范畴与自旋圈积群的有限维不可约模范畴之间的等价性。通过具体实现圈积群的Macdonald范畴化，来深刻揭示射影表示的内在意义。这些工作有着很强的李理论背景，它们将给出Weyl群射影特征标的范畴化，并给出其范畴化的拓扑意义。

Schur关于对称群自旋特征的研究是他在群表示理论中的一个非常重要的研究例子，它包含了两部分的内容。第一部分是推广了Frobenius 方法——即研究了对称群的射影表示，并且用著名的Schur Q-函数确定了对称群射影特征，发现对称群自旋表示有类似于Frobenius公式的特征标公式；第二部分内容是利用Clifford 代数构造了旋表示的扭张量积，并确定了对称群射影特征标表的所有剩余数值。他进一步指出第二部分特征只在一类很特殊的奇共轭类上有非零特征值。在Schur的经典之作之后，有不少关于自旋对称群、自旋超八面体群以及它们圈积的研究。对于有限群与自旋对称群的圈积群，其自旋特征标表中不可约自旋特征在偶共轭类上的数值被Frenkel, Jing和Wang用顶点算子确定了。但是不可约自旋特征在奇共轭类上的数值不清楚。这部分数值是景乃桓教授和本人完成的。.2002年，Jing和Wang把上面的工作推广到有限群与超八面体群的圈积之上。超八面体群的不可约特征是被由有限群的共轭类与特征标着色的一对strict划分来确定的。特征标表中大部分数值可以有由顶点算子确定。但是，奇的strict划分函数确定的那部分特征值是不清楚的。而这一部分数值正是Jing和本人在本项目实施期间给出来的。 .此项目给出了两类圈积群的全部自旋特征标表。其中一个是有限群与对称群的圈积，一个是有限群与超八面体群的圈积。他们包含了不同的Weyl群及其圈积的投射特征，其中部分思想已被推广到A、B、D型。

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