几类数论函数的密码学应用研究

The applications of Fermat quotient to engineering is a brand new research direction proposed in 2011. In this project, we will focus on the study of some number theory functions such as Fermat quotient and its extensions, Legendre symbol, etc., and their applications in the field of cryptography and communication. Our research includes: (1) Study the trace function representation, linear complexity and stability of some existing sequences constructed by Fermat quotient and its extensions, extend the research of binary case to the k-ary case. (2) Combine Legendre symbol and other number theory functions with Fermat quotient and its extensions to construct new extension function sequence， then study their pseudo-random measures such as linear complexity, stability and correlations etc.. Moreover, partial results will be demonstrated by programming. (3) Based on Fermat quotient and their extensions, we design some class frequency hopping sequences set with optimal Hamming correlation values. With the comprehensive utilization of sequences design techniques, we will explore some effective tools and methods to construct frequency hopping sequences set meet or close to Hamming correlation value theoretical bounds. Our study will provide a theoretical basis for the applications of Fermat quotient and their extensions in cryptography and communications, and further improve the basic theory of pseudo-random sequence.

费马商的工程应用是2011年新兴的研究方向。本课题拟针对费马商及其扩展、Legendre符号等数论函数的性质及其在密码学和通信领域的应用开展研究。主要包括：对已有的费马商及其扩展函数序列的迹函数表示、线性复杂度和稳定性等重要的密码学指标进行进一步研究，并将现有的二元序列研究成果推广到多元情形；将Legendre符号等数论函数与费马商及其扩展函数相融合构造新商式及新序列，研究其线性复杂度、相关性等伪随机性指标，并对部分结果进行编程论证；基于费马商及其扩展函数构造具有优的汉明相关值的跳频序列，结合新的序列构造技术探讨其他构造跳频序列的一些有效的工具和方法，设计达到或者接近相关值理论界的序列集。通过以上研究将为费马商及其他数论函数在密码学以及通信领域的应用提供理论基础，进一步拓广和深化伪随机序列基本理论。

本课题综合利用代数学、数论、有限域、编码理论和组合数学等数学工具，对流密码系统和编码理论的若干问题进行深入研究。成果涵盖了伪随机序列理论、线性码，布尔函数以及签名算法的若干关键问题，形成一个比较完整的体系，具有以下创新成果：.(1) 费马商及其扩展函数的密码学应用研究.分别基于费马商、模奇素数幂的 Euler 和多项式商等数论函数构造了六类伪随机序列，分析了序列的线性复杂度和极小多项式等密码学性质以及序列的迹函数表示和离散傅里叶变换。研究了模奇素数幂的 Euler 商层序列的 k-错误复杂度。研究方法对于研究其他序列的相关性质有积极的作用。.(2)其他伪随机序列的性质以及布尔函数的研究.利用已知模不同素数幂、不同阶的多个短周期分圆序列构造具有良好线性复杂度的长周期序列，研究了序列的伪随机性质。构造了四类环（有限域）上具有良好线性复杂度的平衡序列。提出了一类计算 q-元序列最小错误位数及其对应的错误序列的算法。证明了不存在平方和指标满足下界的平衡布尔函数的条件，并分析了布尔函数达到平方和指标和非线性度的关系。.(3) 线性码方面的研究.关于狭义 BCH 码的最小距离和维数是一个著名的困难问题。研究了一类狭义的本原 BCH 码的 Bose 距离和最小距离。利用有限域上的二次型理论构造出了三类低重线性码，研究了码的完全重量枚举。研究了一类四重的二元循环码的重量分布。通过修正码字最大振幅的 Levenstein 界引入了关于码本集合大小新的上界，得到一类几乎满足修正界的最优码本。.(4) 公钥密码体制的相关研究.针对目前公钥密码体制中的若干热点研究问题，提出了四类高效安全的基于身份密码系统和无证书密码系统之间的异构签密方案、无证书广义签密算法、完全隐藏访问结构的密文策略ABE方案和短密文环签密方案。并研究了基于格密码算法的数据完整性验证方案。

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