自由流和多孔介质流耦合问题的投影方法研究

In this program, we study the projection method of the coupling of the fluid flow and Darcy flow. Using the projection method, the Stokes or Navier-Stokes equations is decomposed into several parabolic or elliptic equation, the Darcy equation is solved using the time splitting scheme. Meanwhile, the coupling boundary conditions is given by the last time level, to achieve the purpose of decoupling. We use the finite element, finite volume or finite difference method to discretize the space. In this way, we will give some stability, robustness and high convergence precision numercial methods. We will give the stability analysis and error estimates of the numerical methods, to ensure that our numerical schemes are stable and has good convergence and robustness. Long time stability of our algorithms will be given, to ensure the our methods are stable for long time numerical simulation algorithms. We will give the numerical results of different Reynolds number and fluid hydraulic conductiyity tensor, and compare the resutls, to study the properties of the solutions. At the same time, long-time numerical simulations will be given to study the dynamic behavior of the solution, and then verify the long time stabilities of the algorithms. Thus, we will provide new research tools for the non-linear science, and give new tools and theories for the computational fluid dynamics in the engineering.

在本项目中，我们研究自由流和多孔介质流耦合问题的投影方法。利用投影格式，把自由流(Stokes/Navier-Stokes) 方程分解为几个抛物或者椭圆方程， 多孔介质流(Darcy) 方程利用时间分裂格式进行求解。同时，耦合边界条件利用上一层时间或者以求得的解来确定，以达到解耦的目的。空间离散可以利用有限元、有限体积或差分方法进行离散，给出若干稳定性好、适应性强、收敛的高精度格式。对格式进行稳定性分析和误差估计，以保证我们的数值格式是稳定的，并且具有良好的收敛性和鲁棒性。分析算法的长时间稳定性，以保证算法能进行长时间数值模拟也是稳定的。对不同雷诺数和渗透率张量进行模拟对比，以研究解的性态。同时进行长时间数值模拟，研究解的长时间动力学行为，进而验证算法的长时间稳定性。为非线性科学研究提供新的研究工具，也能更好地为计算流体力学在工程中的应用提供新的工具和理论。

针对自由流和多孔介质流的问题，我们深入研究了拟静态Stokes/Darcy 解的正则性，得到了解的H1正则性和关于时间一节导数的正则性估计。我们深入研究了求解Navier-Stokes/Darcy方程的增量压力矫正有限元方法，得到了对时间一阶和二阶精度的有限元格式。我们给出了算法的稳定性分析、收敛性分析和最优的误差估计。数值实验表明，我们的算法是稳定的、我们的理论分析是正确的。我们研究了求解多孔介质流动的修正特征有限元方法，得到了解的无条件稳定性和最优误差估计。克服了已有结果对时间步长和空间步长限制。数值实验结果表明我们结果是正确的。我们同时研究了求Navier-Stokes方程的修正特征有限元的方法的无条件稳定性和最优的误差估计。修正特征有限元方法是求解对流占优问题的有效方法。但是，以前的研究中，理论分析结果总要要求时间步长和空间步长有一定的关系。我们的研究表明，这一类条件是不需要的。我们也研究了求解Navier-Stokes方程的修正特征变分多尺度方法和修正特征亏量矫正有限元方法。给了最优的误差估计和稳定性分析，以及数值实验。同时，我们研究了Navier-Stokes方程解的长时间渐近行为，为非线性科学的研究以及计算流体力学在工程技术中的应用提供了新的研究工具方法。也对Navier-Stokes方程解的渐近行为有了更清楚的认识。研究了求解流体热动力学方程组修正特征投影有限元方法。研究了求解粘弹性Oldroyd流的gauge-Uzawa有限元方法。给出稳定性分析和最优的误差估计，数值实验结果表明我们的研究的正确性。对应的研究结果已经以11论文的形式发表Numerische Mathematics、SIAM on Numerical Analysis等国际著名的学术期刊上，期中10篇论文被SCI检索；另有几篇论文正在审稿中。项目组成员进行了广泛的学术交流，共参加学术会议10余次，多次做学术报告；项目组成员受国家留学基金委资助分别到美国匹兹堡大学和科罗拉多博尔德分校做访问学者2人次；在项目执行期间招收硕士研究生4名。总之，项目的研究工作按照计划顺利进行，并根据实际情况做出了相应的调整，圆满完成任务。

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