一类含分数阶导数的非线性系统随机动力学与控制

研究一类含分数阶导数的非线性系统随机动力学与控制，即含分数阶导数型阻尼的多自由度非线性系统随机动力学与控制，初步建立起一套含分数阶导数型阻尼的非线性系统随机动力学与控制的理论和方法。根据系统的可积性与共振性特征，发展适合于含分数阶导数型阻尼的多自由度非线性随机动力学系统的随机平均法，利用扩散过程理论研究系统的随机响应、首次穿越、随机稳定性及随机分岔等动力学特性；并结合随机动态规划原理，分别以响应最小化、可靠度最大化或稳定度最大化为目标，发展一套同时考虑实际应用中不可避免的状态部分观测、控制力时滞与有界等因素的非线性随机最优控制理论方法；进而，研究随机最优控制系统的动力学，包括响应、稳定性、分岔、可靠性等，通过与未控系统动力学的比较，建立控制性能指标与受控系统动力学变化之间的关系，以便更有目的更有效的控制系统。最后，用Monte Carlo数字模拟法验证上述理论方法的有效性。

经过三年的研究，初步建立了一套含分数阶导数型阻尼的非线性系统随机动力学与控制的理论和方法。具体成果如下：（1）提出了各种噪声激励下具有分数阶导数型阻尼的单(多)自由度非线性系统的随机平均法；（2）建立了与平均伊藤随机微分方程对应的 FPK 方程和后向 Kolmogorov 方程，发展了求解上述方程的数值方法，并通过求解这些方程得到系统的随机响应与首次穿越损坏：（3）建立了各类噪声激励下含分数阶导数型阻尼的多自由度非线性系统的最大李雅普诺夫指数计算方法，研究了系统随机稳定性与随机分岔；（4）上述理论方法被应用于典型非线性系统在各类噪声激励下的随机响应、随机稳定性、随机分岔、首次穿越损坏研究，数字模拟结果与理论方法的结果具有很好的吻合度，证实了上述理论方法的正确性；（5）结合随机动态规划原理，研究了含分数阶导数型阻尼的多自由度拟可积哈密顿系统最优控制，包括：以响应最小化或可靠度最大化为目标的有界最优控制，以响应最小化或稳定化最大为目标的分数阶最优控制。通过对经典非线性系统的研究，发现我们设计的最优控制律确实达到了预定的控制效果。.此外，还考虑了分数阶导数型阻尼对系统刚度的影响，给出了相应的解决方案，通过对经典单自由度强非线性系统的研究，发现原方程的数字模拟结果与近似解析结果吻合较好；初步探索了对分数阶随机动力学系统，发展了分数阶动力学系统的等效非线性系统法，并应用于分数阶谐振子的随机响应与随机稳定性，和分数阶范德坡振子的随机稳定性的研究。.在该项目的资助下，我们总共发表了学术论文20篇，其中 SCI收录论文 12 篇，EI收录1篇，其它 7 篇。研究成果超额完成预定的目标。

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