Banach空间中非线性反问题求解的一类迭代正则化方法及应用

With the introduction of the sparsity constraints and total variation constraints, the studies on the iterative regularization methods in the Banach spaces have been developed vigorously, but are still very imperfect. The problems of slow speed etc. restrict the applications of algorithms to large-scale nonlinear inverse problems in practice. We proposed a class of iterative regularization method based on the homotopy perturbation technique for nonlinear inverse problems in the Hilbert spaces, which contained the Landweber method, but the second order and high order approximation method had higher efficiency than Landweber method. Recently, we extended the second order approximation method to Banach spaces, and then proposed a novel iterative regularization scheme with non-smooth constraints for nonlinear inverse problems, and some good theoretical and numerical results were obtained. On this basis, this project will carry on the further theoretical and applied researches. Our research work will mainly contains two parts: 1. We strive to develop some kinds of iterative regularization methods in Banach spaces with the merits of fast convergence, saving storage, overcoming the non-smoothness of the solution and the complexity of data noise, etc., such as the homotopy perturbation method with non-smooth constraints, the homotopy perturbation Kaczmarz method and accelerated homotopy perturbation method and so on, and then will give the detailed regularity analysis, and discuss the stopping criterion and convergence rate. 2. We will commit to the studies on the applications of theory and methods to the frequency domain diffusion optical tomography (DOT), and aim to explore the advantages and challenges according to the multiple frequency data to construct the fast and efficient inversion algorithms. We hope our results and algorithms can overcome some difficult problems faced by this biomedical imaging technique.

随着稀疏约束和全变差约束的引入，Banach空间中的迭代正则化方法研究得以蓬勃开展，但还很不完善，速度慢等问题限制了算法在大规模非线性反问题上的应用。项目组曾在Hilbert空间中利用同伦摄动技术构造了一类包含了Landweber法的高效率迭代正则化方法，最近又将其中的二阶近似法推广到了Banach空间中的非光滑约束情形，获得了很好的理论与数值结果。在此基础上，本项目将进行更加深入的理论与应用研究。主要包含以下两个方面：1）在Banach空间中得到更为广泛的一类高效能迭代正则化方法，兼具快速、节省存储、克服解的非光滑性及数据噪声的复杂性等特性。包括非光滑约束的同伦摄动法、同伦摄动-Kaczmarz法以及加速-同伦摄动法等算法，分析其正则性，并探讨算法的停止准则和收敛速度。2）理论和方法在频率域扩散光学层析成像上的应用研究，探讨多频数据带来的优势与挑战，解决此生物医学成像问题中的若干难题。

非线性反问题在地球物理、生命科学、材料科学、信号处理等众多实际领域有着非常广泛的应用。为克服反问题的不适定性，必须使用正则化方法对其求解。其中，迭代正则化因其易于数值实现的特性成为反问题理论和算法研究的重点，具有较大的实际应用潜力。尽管已经发展起来了多种迭代正则化方法，但仍很不完善。求解反问题除受非线性及不适定性双重困扰外，还面临反演解的多样性、数据噪声的复杂性以及问题规模的巨大性等诸多因素。针对这些难题，本项目设计构造一类高效能的同伦摄动迭代法，探讨方法的收敛性与正则性，并通过数值实验验证方法的有效性及加速效果。此外，本项目还将所提方法应用于电阻抗断层成像问题中以提高成像精度。具体工作如下。. 针对Hilbert空间中大规模非线性反问题，考虑反演解为光滑结构的情况。基于序列子空间优化策略，本项目构造了可行且高效的加速同伦摄动Kaczmarz方法。给出了方法收敛性及正则性分析，并利用由多个内部源的边界测量数据反演椭圆型参数方程算例的数值模拟肯定了方法在节约迭代步数及计算时间方面的优越性。数值实验表明，在求解大规模反问题时，所提出的方法展现出非常令人满意的加速效果。. 针对Banach空间中非线性反问题，首先考虑反演解为稀疏解的情况。本项目在同伦迭代法基础上，引入Bregman投影方法，提出投影的同伦摄动迭代法。理论上分析了方法的收敛性和正则性，数值模拟部分考虑了椭圆参数识别问题。结果表明，该方法能够有效反演具有稀疏结构的解，同时也提高了原始同伦摄动迭代法的计算速度。此外，方法还具有处理非高斯噪声数据的能力。进一步着眼于反演解的结构为稀疏或分片常值的情形，利用Nesterov加速策略，设计了带有一致凸罚项的Nesterov型加速同伦摄动迭代法。开展了方法的理论分析及数值模拟。椭圆方程参数识别及热传导方程Robin系数重构的数值算例结果表明，方法可以实现非光滑解的重构。与同伦摄动迭代法相比，所提出的方法大大减少了迭代步数及计算时间。同时，方法也同样适用于处理非高斯噪声数据。 . 本项目进一步开展了电阻抗断层成像的应用研究。实验结果表明，在基于Jacobi矩阵的线性化电阻抗断层成像问题中，所提Nesterov型加速同伦摄动迭代方法对数据噪声具有鲁棒性，并且能够提高重构图像分辨率以及减少成像时间。

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