多项式特征值反问题

Polynomial inverse eigenvalue problems deal with the determination of matrix polynomials from the given eigenvalues and /or eigenvectors. These problems arise in a variety of applications, such as structural design, model updating, inverse problems in vibration and so on. Due to the nonlinearity of the problems, the challenges are encountered in theoretical study and algorithm design for the polynomial inverse eigenvalue problems. This project is mainly concerned with the formulation, solvability and numerical methods of parameterized polynomial inverse eigenvalue problems and optimal approximation of matrix polynomials under spectral restriction. We expect to present new formulations for the polynomial inverse eigenvalue problems, establish the solvability theory of the polynomial inverse eigenvalue problems and propose some effective numerical methods for solving the polynomial inverse eigenvalue problems. The results obtained will enrich and develop the theory and methods of numerical algebra and matrix analysis, and provide the mathematical softwares for solving the polynomial inverse eigenvalue problems for researchers in related fields.

多项式特征值反问题研究由给定的特征值和/或特征向量确定矩阵多项式。这类问题出现在结构设计、模型修正、振动反问题等许多应用领域。由于问题的非线性性，使得多项式特征值反问题的理论研究和算法设计具有挑战性。本项目主要研究参数化多项式特征值反问题、谱约束下矩阵多项式最佳逼近问题等的提法、可解性和数值方法。预期给出多项式特征值反问题的一些新提法，建立多项式特征值反问题的可解性理论，提出求解多项式特征值反问题的一些有效数值方法。研究成果不仅丰富和发展数值代数、矩阵分析的理论和方法，而且为相关领域的研究人员提供求解多项式特征值反问题的理论、方法和数学软件。

多项式特征值反问题出现在结构设计、模型修正、振动控制等许多应用领域。本项目研究了参数化多项式特征值反问题的一些新提法，建立了参数化多项式特征值反问题的可解性理论，提出了求解参数化多项式特征值反问题的一些数值方法。研究了谱约束下矩阵多项式最佳逼近问题，尤其是带约束的结构矩阵束和二次结构矩阵束的最佳逼近问题，分析了这些问题的可解性，发展了求解这些问题的一些数值算法。研究了二阶和高阶线性系统的部分特征结构配置问题，导出了这类问题可解的条件，提出了求解这类问题的一些有效方法。研究了线性离散不适定问题的正则化方法，证明了全局GMRES方法的正则化性质，提出了求解线性离散不适定问题的一些有效方法。为了有效地求解参数化多项式特征值反问题，提出了求解多项式特征值问题和非线性特征值问题的一些有效的数值算法。研究成果不仅丰富和发展数值代数与矩阵分析的理论和方法，而且可应用于结构设计和有限元模型修正。所发表的一些论文已被其他学者引用。培养了博士研究生5名、硕士研究生3名。承办并资助了第7届数值代数与科学计算国际会议。

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