有限局部交换环与零化理想图

The annihilating-ideal graphs provide an excellent setting for studying some aspects of algebraic properties of commutative rings, especially, the ideal structures of rings. In this research item, we plan to study the realization of refinements of star graphs for the annihilating-ideal graphs of finite local commutative rings, and then investigate the relationship between the algebraic properties and structures of finite local commutative rings and the graphic properties and structures of their annihilating-ideal graphs, realize the connections between the rings and the corresponding graphs，and give a completely classifications of finite local commutative rings. Special attention will be paid to the further pursuit for the detailed structures of finite local commutative rings in terms of the quotients of polynomial rings.

交换环的零化理想图为研究交换环的代数性质，尤其是理想结构，提供了有力的工具。本项目主要利用零化理想图来研究有限局部交换环的分类与结构。首先研究星图加细对有限局部交换环的零化理想图的实现问题，然后在此基础上，研究有限局部交换环的代数性质和结构与其零化理想图的图性质和结构之间的相互制约关系，并实现环与图的对应，从而对有限局部交换环进行完全分类。最后，利用有限域上多项式环的商环给出有限局部交换环结构的精确表示。

交换环是交换代数的重要研究对象之一，也是代数几何与代数数论的基础与工具。近年来，交换环的代数性质与零化理想图的图论性质一直是相关研究的热点，众多学者不断创造新的思想与方法，并提出很多尚未解决的问题。在这一项目中，我们通过研究有限局部交换环的零化理想图实现了相应环的结构刻画与分类。本项目主要获得了以下两个方面的成果：（1）刻画了能够实现为交换环零化理想图的星图与核不含四边形的图的结构，并给出了相应环的结构与分类；（2）刻画了域上单变元多项式环K[x]上的单项式罗巴算子的结构，并研究了相应罗巴理想的生成元问题。通过这一项目的实施，我们获得了一些新的有限局部交换环类，用多项式环的商环给出了它们的结构表示，并将这一思想应用于罗巴理想的研究，拓展了研究领域，为将来的研究找到了新的增长点。

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