0-1矩阵若干秩问题的研究

0-1 matrices are basic objects of study in combinatorial matrix, which are closely related to graph theory and combinatorial mathematics. Rank is an important parameter of a matrix, which reflects a lot of internal information of a matrix. Recently, 0-1 matrices were widely studied. However, many natural and important problems were unsolved. This project aims to study some rank problems of 0-1 matrices, including:.(1) Minimum rank of regular classes of 0-1 matrices: Characterizing the regular 0-1 matrices that attain the upper bound and considering two problems posed by Pullman and Stanford, finding the ways to solve this problem; (2) Binary rank of 0-1 matrices: determining the binary rank of 0-1 matrices with special structures, establishing some equalities or inequalities between binary rank and the general rank. (3) t-term rank of 0-1 matrices: determining the possible numbers of ones in a 0-1 matrices with a given t-term rank respectively in the general case, the symmetric case, the symmetric case with 0's on the main diagonal. We also determine the matrices that attain the possible numbers of ones. The problems studied in this project directly or indirectly derived from graph theory, the linear system and control theory, economics, engineering calculation and so on.

0-1矩阵是组合矩阵论中的一个基本研究对象，它与图论及组合数学紧密相关。秩是矩阵的一个重要参数，它反映了矩阵许多内在的信息。近年来，0-1矩阵的秩问题得到大量研究，但许多自然且具有基本重要性的问题仍未解决。本项目将研究0-1矩阵的若干秩问题，包括：(1) 正则0-1矩阵类的最小秩：刻划正则0-1矩阵类最小秩的上界何时能取到，考虑Pullman和Stanford提出的两个问题，由此找到解决该问题的思路和方法；(2) 0-1矩阵的二元秩：确定一些具有特殊结构的0-1矩阵的二元秩，建立二元秩与一般意义的秩之间的数量关系或不等式；(3)研究0-1矩阵的t-项秩，分别从一般情形、对称情形、主对角线全为零的对称情形确定一个给定t-项秩的0-1矩阵含有1的所有可能个数以及取到这些数的所有0-1矩阵。本项目所研究的问题直接或间接来源于图论、线性系统与控制论、经济学以及工程计算等。

0-1矩阵是组合矩阵论中一个基本且重要的研究对象，同时也是一个研究热点，这类矩阵与组合数学及图论密切相关，由于在信息学科中的重要应用，这类矩阵也常称为二进制矩阵。本项目旨在研究0-1矩阵中的若干秩问题，包括正则0-1矩阵类的最小秩问题、0-1矩阵的二元秩问题以及0-1矩阵的t-项秩问题。本项目经过一年来的的潜心研究，已解决项目课题中的部分问题，主要包括：（1）证明了$\hat{\nu}(n, k)=\lfloor n/k\rfloor +k$当且仅当$n\equiv \pm 1~ ({\rm {mod}}~ k)$，从而回答了Pullman和Stanford提出的一个问题，该问题于上世纪八十年代提出，有一定的难度；（2）我们几乎给出了正则0-1矩阵类的最小秩取到最佳上界的一个充分必要条件，我们证明了$\tilde{\nu}(n, k)=\lfloor n/k\rfloor +k$仅当$(n,k)$满足以下三种关系之一：(i) $n\equiv \pm1~({\rm mod}~k)$, $k=2$或3; (ii) $n=k+1$, $k\geq 2$; (iii) $n=4q+3$, $k=4$且$q\geq 1$；另一方面，我们还证明了$\tilde{\nu}(4q+3,4)=q+4$对$q\geq 4$和$q=1$成立。该结论对于正则0-1矩阵的最小秩问题的研究也具有重要的理论价值；（3）构造了满足$\tilde{\nu}(n, k)< \hat{\nu}(n, k)$的几类正则（0,1）矩阵，该结论对于解决Pullman和Stanford提出的另一个问题有重要的理论价值；（4）提出了几个公开问题，这些问题为完全解决正则0-1矩阵的最小秩问题提供了研究方向；（5）刻划了交换环上一类矩阵环上具有可导性的非线性映射；（6）完全刻划了秩1上三角矩阵的交换图。目前已公开发表（含录用）论文3篇，其中SCI检索论文两篇，中文核心期刊论文一篇。

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