与结构动特性协同的自适应直接积分算法研究

借助辛几何理论、李级数方法和微分求积法则，利用协同优化、微分算子和高阶逼近等手段，考虑结构固有振动特性，开展如下工作：研究直接积分方法相位误差的优化问题，构造与结构固有振动频率协同的相位误差为零或最小化的自适应直接积分格式；针对几种典型的具有阻尼和刚度非线性的动力学问题，研究李级数中的局部微分演化算子的特征，据此构造实用的非线性动力学问题高精度李级数算法，并研究其幅值和相位特征；建立强形式和弱形式的微分求积时间差分方法，研究其耗散和弥散特征；根据辛变换、辛映射概念，构造低计算复杂度和高精度的动力学系统的辛多步算法。本项目希望解决结构动力学方程直接积分方法的弥散问题，给出幅值耗散和相位误差最小化的动力学方程的自适应直接求解算法，其成果将具有重要的学术价值和应用价值。

人们在选择用哪一种直接积分法求解结构动力学问题时，通常不考虑系统固有振动特性，一般皆用统一的算法格式和参数来求解具有不同动态特性的动力学问题。本项目的目的在于构造阶次和参数能够随着系统特性和精度自适应变化，且幅值和相位精度都高的算法。. 本项目的主要研究内容包括：1、算法弥散问题的优化解法；2、结构非线性动力学问题的李级数算法；3、动力学方程的高效高精度微分求积算法；4、高效、高精度的辛多步动力学算法。. 本项目主要成果包括：1、构造了与结构固有振动特性协同的二阶Newmark算法，其中，算法参数可以根据系统固有振动特性的变化而自适应变化，以达到保幅值但相位误差最小化的目的；对于非线性系统，可以根据主共振频率来确定算法参数，进而得到高精度的模拟结果；2、给出了阶次、步长可以根据不同精度要求而自适应变化的李级数算法，该算法适合于求解对幅值和相位精度要求都比较高的动力学问题，适用于线性和非线性系统，对非线性系统，其优势更加明显。在该算法中，已知精度和时间步长，算法的阶次会自适应变化；已知精度和阶次，时间步长会自适应变化；3、构造了微分求积时间有限元方法（弱形式）和微分求积时间差分或时间单元方法（强形式），二者都为高阶的条件稳定算法，但多数格式不存在幅值误差；4、构造了高级Newmark算法及其辛格式，其中包括2级到6级Newmark格式，算法参数的不同组合具有不同的精度，参数的选取具有规律性，并且2级到4级算法都具有辛格式；5、给出了s级２s阶隐式GLSRK（Gauss-Legendre symplectic Runge-Kutta）方法的一种显式高效执行格式，使这种方法的实用成为可能。本项目主要是给出了一种构造直接积分算法的新思想，部分成果具有原创性和实用价值，对于开展与动力学问题求解方法相关的工作研究具有重要参考价值。

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