基于周期数据的广义保形拟插值的理论及其应用

Quasi-interpolation has been widely used in dealing with approximation problems. It yields a solution directly without the need to solve any linear systems, and thus it possesses the properties of taking small amount of computation and fair stability of computation.For many approximation problems,the approximand usually possesses some kind of periodicity.However,these approximation problems,most classical quasi-interpolation faces two difficulties:1.they need to do periodic extensions on the boundaries,which not only requires some boundary conditions,but also yields high-order discontinuous points at the boundaries and thus gives extension trails;2.The shape-preserving(monotonicity/convexity-preserving)property is not valid since periodic functions can not be monotonic/convex in a period any more.Thus,it needs to study theory and application of quasi-interpolation for periodic data.Coupled together the construction ideas of MQ quasi-interpolation and trigonometric spline quasi-interpolation,with the help of the theories and methods of numerical approximation,computational geometry,the project will study such a topic.This project mainly consists of studying theories and basic methods of constructing quasi-interpolation for periodic data,deriving some properties of the quasi-interpolant(approximation orders for a function and its high-order derivatives,generalized shape-preserving properties,stability and optimal choices of the shape parameter),exploring its applications in numerical solution of differential equations,numerical differention,computer aided geometric design and so on.

拟插值被广泛地应用于处理各种逼近问题,它不需要求解线性方程组就可以直接给出逼近函数,具有计算量小、计算稳定性好等优点.而对于许多逼近问题,被逼近对象往往具有某种周期性.然而,经典的拟插值在处理这类问题时面临两个困难:1.需要在边界进行周期延拓(这不仅需要边界条件,而且还会在边界处出现高阶不连续点,产生延拓的痕迹);2.保形性(保单调性/凸性)的性质失去意义(周期函数在单个周期内不再是单调/凸函数).因此,需要研究基于周期数据的拟插值理论及其应用.利用数值逼近、计算几何的理论和方法,融合 multiquadric 拟插值和三角样条拟插值的构造思想,本项目将研究该课题.主要包括:探讨基于周期数据的拟插值构造理论和基本方法,推导拟插值的性质如对函数及其高阶导数的逼近阶、广义保形性、稳定性和形状参数的最佳选择准则,研究拟插值在微分方程数值解、数值微分、计算机辅助几何设计等领域的应用.

拟插值被广泛地用于处理各种逼近问题。它不需要求解线性方程组即可获得逼近函数，具有形式简单、计算量小、计算稳定性好等优点。可是，经典的拟插值往往都是针对一元或多元规则数据的逼近问题。目前，仍然没有一种拟插值方法能够有效地处理多元散乱数据的逼近问题。而且，随着大数据时代的来临，海量的复杂数据的逼近问题给拟插值带来更大的挑战。处理这些问题，需要借助被逼近对象的先验知识构造拟插值。然而，经典的拟插值在构造过程中往往以逼近精度为目标，而忽视被逼近对象的先验知识。因此，迫切需要研究基于先验知识的拟插值的构造理论和基本方法。 周期性是一种常见的先验知识，广泛存在于数值逼近的众多场合，因此，本项目考虑周期数据的拟插值的构造理论及其应用。主要研究内和重要结果如下：1，建立基于周期数据的拟插值的构造理论和基本方法，使得构造的拟插值不仅能够融合 multiquadric 拟插值和三角 B-样条拟插值的优点：光滑性、周期性、逼近高阶导数的稳定性、带宽的动态选择性，而且还具有广义保形性这一类似于经典拟插值的保形性的优良性质；2，推导出基于周期数据的拟插值的性质：对函数及其高阶导数逼近阶的估计和形状参数的最佳选择准则，广义保形性，对噪声数据数值微分的性质（有效性、几乎处处收敛性、渐近正态性、带宽的动态选择准则等）；3.给出拟插值在方程数值解中的应用案例。 通过本项目的研究，不仅为构造基于其它先验知识的拟插值提供了理论和技术手段上的参考；其次，本项目的研究成果可以应用用于封闭曲线/曲面重构，微分方程数值解，数值微分，模式识别，非参数估计等领域；再次，通过把广义保形的概念及对应的几何意义引入到拟插值的研究中，将进一步扩展拟插值的理论和应用研究。

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