接触力学与图像处理中的互补问题的快速算法研究

结题报告

项目介绍

AI项目解读

基本信息

批准号：
11661027
项目类别：
地区科学基金项目
资助金额：
36.0万
负责人：
李郴良
依托单位：
桂林电子科技大学
学科分类：
A0502.数值代数
结题年份：
2020
批准年份：
2016
项目状态：
已结题
起止时间：
2017-01-01 至2020-12-31

项目参与者：
阳莺；刘翠玉；方贵炳；贾学良；田兆鹤；胡小媚；
关键词：
互补问题瀑布型多重网格方法接触力学区域分解方法模系矩阵分裂方法

项目摘要

Contact problems are very important in mechanical engineering, such as friction and wear, rolling contact fatigue and the fatigue life of machine elements and so on. Image processing problems are involved in communication engineering, biomedical engineering and scientific visualization and so on. It is very significant to study the robust and efficient numerical methods for solving these problems. Many problems arising from contact mechanics and image processing can lead to some variational inequalities and complementarity problems. In this project we mainly study some fast numerical methods for solving the large scale complementarity problems arisen from these models by combining modulus-based matrix splitting method with multigrid method and domain decomposition method, such as modulus-based cascadic multigrid methods and modulus-based domain decomposition methods; we will also analyze some image problems and construct their corresponding two-sided obstacle problems and mixed complementarity problems, and prove the existence and uniqueness of their solutions; we will study the convergence of the modulus-based matrix splitting methods for solving the complementarity problems with saddle point coefficient matrix, and then develop some modulus-based cascadic multigrid methods and modulus-based domain decomposition methods.

接触问题是机械工程很重要的一类问题，涉及摩擦磨损、滚动接触疲劳和机械元件疲劳等, 图像处理涉及到通信工程、生物医学工程和科学可视化等诸多领域，研究稳健的有效的求解这些问题的快速数值算法是非常有意义的。接触力学和图像处理中的一些问题实质上都可归结为互补问题。本项目主要研究来源于接触力学及图像处理中的变分不等式与互补问题的快速数值算法，拟结合模系矩阵分裂方法、多重网格方法和区域分解方法的优点，讨论来源于接触问题的大规模互补问题的模系矩阵分裂方法、模系瀑布型多重网格方法和模系区域分解方法；分析和建立图像处理问题的双障碍变分不等式和混合互补问题模型，分析其解的存在惟一性；大部分图像处理问题所对应的代数系统矩阵为鞍点矩阵，讨论此类问题的模系矩阵分裂方法的收敛性，在此基础上研究基于模系瀑布型多重网格方法和区域分解方法。

结项摘要

本项目研究了来源于接触力学及图像处理中的变分不等式与互补问题和界面问题等的快速数值算法。. 一些弹性接触力学问题可归结为系数矩阵是Toeplitz结构的线性互补问题。我们结合预处理技术和矩阵分裂方法, 构造了预处理模系矩阵分裂迭代法、预处理模系矩阵多分裂块迭代方法、块预处理模系矩阵分裂迭代方法、模系矩阵CSCS迭代方法和模系瀑布型多重网格方法, 给出了相关的收敛分析，数值实验结果验证了方法的有效性。. 给出了求解双边障碍问题的模系矩阵分裂迭代方法，构造了来自图像恢复中的双障碍问题的EMSI方法。数值实验结果表明，在适当选择参数的情况下，EMSI 算法优于PDHG 算法。. 针对一类隐互补问题，构建了一类模系矩阵多分裂迭代算法。针对一类弱非线性互补问题，提出了模系矩阵多分裂多参数迭代算法、广义模系矩阵多分裂多参数迭代算法、模系矩阵块多分裂迭代算法和模系矩阵分裂Two-sweep方法，分析了算法的收敛性和有效性。.研究了求解随机线性互补问题的数值算法。将该问题通过期望值模型转化为线性互补问题，构建了模系矩阵迭代方法、模系矩阵分裂迭代方法、模系矩阵多分裂迭代方法、模系矩阵二级多分裂迭代方法和相应的正则化分裂迭代方法，讨论了算法的收敛性。. 针对一维和二维界面问题，提出了一系列的瀑布型多重网格方法。构造了一类新的双线性浸没有限元，并分析了其性质。在此基础了，构建了瀑布型多重网格方法和外推瀑布型多重网格方法。. 这些研究成果丰富了互补问题和界面问题的快速算法，为相关的研究领域发展提供了理论和应用基础。