同调光滑DG代数的性质、构造、分类和同调不变量理论研究

This project contains the following research topics..(1) Study the relations between the homologicallly smoothness of a connected cochain DG algebra A and the finiteness of ① the cone lenth of k, ②the global dimesion of A, ③the ghost dimension of A and ④ the dimension of the derived category of compact DG A- modules, respectively..(2)Improve the theory of dualizing DG modules and local cohomology in DG context. Prove the local duality theorem and do research on the close relations between the Gorensteinness (resp. Calabi-Yau properties) of a homologically smooth DG algebra A and the existence of balanced (resp. rigid) dualizing DG module..(3)Show that the Calabi-Yau property of a homologically smooth DG algebra A is equivalent to the the symmetric Frobenius property of its Ext-algebra; study the existence of Batalin-Vikovisky algebra structures on the Hochschild cohomology algebra of A (resp. Ext-algebra of A). If both exist, show that they are isomorphic. .(4)Consider the differential structures, the isomorphic problems and the homological properties of DG Sklyanin algebras (resp. DG free algebras generated by degree one elements).

本项目拟研究以下问题：（1）探讨连通上链DG代数A的同调光滑性质与①平凡模k的锥长度、②A的整体维数、③A的ghost维数和④紧致DG模导出范畴维数的有限性之间的关系。（2）建立和完善DG层面上的对偶DG模理论和局部上同调理论，证明局部对偶定理, 研究同调光滑DG代数的Gorenstein性质, Calabi-Yau性质分别和平衡对偶DG模以及rigid对偶DG模的存在性之间的关系。(3) 研究同调光滑DG代数的Calabi-Yau性质与其Ext代数的对称Frobenius性质之间的关系；讨论Calabi-Yau DG代数的Hochschild上同调代数与其Ext代数Hoschild 上同调代数的Batalin-Vikovisky代数结构的存在性，在两者都存在的情况下，证明两者同构。（4）研究DG Sklyanin代数和一次元素生成的DG自由代数的微分结构、同构分类和同调性质。

同调光滑DG代数在DG同调代数理论中的重要性相当于经典同调代数中的正则代数。在研究同调光滑DG代数的结构、性质、判定和扩张的过程中，人们需要通过对适当的同调光滑DG代数的例子进行分析，归纳，总结，猜想，推断，然后得出一些深刻的结论。因此构造一些非平凡的同调光滑DG代数就显得很重要。本项目以. 一些重要的AS 正则代数为基分次代数构造DG代数，并研究同构分类、同调性质和不变量理论。其中包括（1）给出了诺特DG down-up 代数上所有可能的微分结构，计算了同调分次代数，研究了诺特DG down-up 代数的formal 性质，证明了非平凡的诺特DG down-up 代数都是CY DG 代数；（2）研究了由n个1次元素生成的DG 自由代数和多项式DG 代数的微分结构、同构分类和同调性质；（3）研究了3维Sklyanin 代数和量子n-仿射空间O_(-1) (k^n)上所有可能的DG 代数结构和同构问题，解决了相关DG 代数CY性质的判定问题；（4）证明了同调光滑Kosuzl　DG代数的导出Picard 群与其Ext代数的导出Picard 群同构，从而解决了同调光滑Kosuzl　DG代数导出Picard 群的计算问题；（5）当连通上链DG代数的同调分次代数视为微分为零的连通上链DG代数若为CY DG 代数时，证明该连通DG代数必是CY DG 代数；（6）在DG 层面上引入了局部上同调函子，证明了对应的局部对偶定理，利用局部上同调函子类似分次情形定义了DG 代数自同构的同调行列式，发现局部上同调函子可以用来刻画同调光滑DG 代数的Gorenstein 性质, 并用同调行列式给出了同调光滑Gorenstein DG 代数在有限群作用下的不变子DG代数仍为Gorenstein DG 代数的一充分条件.

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