非局域非线性薛定谔模型的精确孤子解及其在PT对称光学中的应用

In recent years, the notion of parity-time (PT) symmetry has received considerable attention because of its potential applications in optical communication, optical elements and optical materials. This project is devoted to the study on the exact soliton solutions of spatially-, temporally-, and tempo-spatially-nonlocal nonlinear Schrödinger (NLS) models and their application to the PT-symmetric optics. First, based on the Darboux transformations of the three nonlocal models, we construct the exact exponential, rational and mixed soliton solutions, and analyze the propagation characteristics and formation mechanism for all types of solitons. Second, by developing the asymptotic analysis method for multi-soliton solutions, we study the soliton interaction properties for both the focusing and defocusing cases of each model, and make a systematic classification of soliton interactions. Third, we use the exact solutions of spatially- and tempo-spatially- nonlocal NLS models to obtain various PT-symmetric potentials and the relevant optical modes. On this basis, we examine the stability of the optical modes transmission in the PT-symmetric systems, determine the dependence of the phase-transition point of PT symmetry breaking on the potential parameters, and analyze the dynamics of light transmission near the phase transition. Our research will not only reveal the abundant soliton dynamical properties of the three nonlocal NLS models, but also apply the theory in integrable systems to the PT-symmetric optics.

近年来，宇称-时间对称（PT对称）的概念由于其在光通信、光学元件以及光学材料等方面的潜在应用而备受关注。本项目致力于研究空间、时间和时空非局域非线性薛定谔（NLS）模型的精确孤子解及其在PT对称光学中的应用。首先，基于三类非局域模型的达布变换，构造精确的指数型、有理型以及混合型孤子解，并分析各类孤子的传播动力学性质和形成机制。其次，发展多孤子解的渐近分析方法，研究各个模型在自聚焦和自散焦情形下的孤子碰撞性质，同时对孤子的碰撞类型进行系统的分类。第三，利用空间和时空非局域NLS模型的精确解获得各种PT对称位势和相应的光学模式，进而研究光学模式在PT对称系统的传输稳定性，确定PT对称破缺相变点与位势所含参数的依赖关系，以及分析在相变点的光传输动力学特性。本项目的研究将不仅揭示三类非局域NLS模型丰富的孤子动力学性质，而且还可将可积系统的理论应用于PT对称光学领域。

随着宇称-时间（PT）对称的概念被推广至可积系统和孤子理论以来，非局域非线性薛定谔（NLS）方程受到了国内外学者的密切关注。本项目研究了非局域NLS方程的精确孤子解及其动力学性质和物理应用，开展的主要研究工作及取得的成果如下：i）利用达布变换获得了1+1维空间非局域NLS方程的任意阶混合型和有理型孤子解的行列式结构；ii）发展了混合型和有理型多孤子解的渐近分析方法，揭示了空间非局域NLS方程新的孤子相互作用性质，同时将该方法推广应用于其他可积方程的多极子解的渐近行为和相互作用性质分析；iii）获得了空间、时间和时空三类非局域NLS方程的广义定态解，包括Jacobi椭圆函数和双曲函数解；iv）利用复振幅的定态解构造了PT对称位势并建立了与PT对称光学的联系，同时从理论上证明了相应的光学传输模式是线性稳定的且哈密尔顿量不会发生PT对称破缺；v）建立了2+1维空间非局域NLS方程的基本达布变换，并获得了6种不同形状的局域波解及相应的非奇异条件。另外，我们还研究了半离散massive Thirring方程的可积性质和离散孤子解、Cauchy二矩阵模型与正交多项式和Toda型方程族的联系、高阶和离散NLS方程的怪波形成机制及孤子解的同异宿轨行为。

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