时-空周期非局部扩散系统的空间动力学研究

In the recent years, nonlocal dispersal systems have been extensively applied to many fields, such as physics, chemistry and biology. Due to the lack of compactness of solution operator and the periodicity of the nonlinearity, it is difficult to study the spatial dynamics of the nonlocal dispersal systems in time and space periodic habitats. In this project, we will study the wave propagation, spreading speed and entire solutions for the nonlocal dispersal system in time and space periodic habitats. More precisely, we will study the principle eigenvalue theory of nonlocal dispersal operators with time and space periodic dependence and various properties of time and space periodic traveling wave solutions. We will also consider the long-term behavior of solutions of Cauchy problems with initial value having compact supporting set and different decay conditions. In addition, we will construct some new types of entire solutions by using traveling wave solutions with different wave speeds and wave directions and time and space periodic solutions. In particular, the abstract results will be applied to some epidemic and biological models and the dependence of the nonlocal dispersal and the spatial and time periodicity on the dynamics of disease spread and biological invasion will be investigated. A definite breakthrough in the theory and methods may be made and contribute to the further development of the theory of reaction-diffusion equations.

近年来，非局部扩散系统被广泛应用于物理、化学与生物学等学科的研究领域中。对时-空周期的非局部扩散系统，由于解算子紧性的缺乏与非线性项的周期性，因而对其空间动力学的研究存在一定的困难。本项目拟深入研究时-空周期非局部扩散系统的波的传播、渐近传播模式与整体解，力图对此类问题发展一些新的研究方法。在波的传播的研究中，以建立时-空周期依赖的非局部扩散算子的主特征值理论与时-空周期行波解的各种定性性质为目标；在渐近传播问题的研究中，以研究初值具有紧支集与不同衰减条件的Cauchy问题解的渐近行为为目标；在整体解的研究中，以利用同向或异向传播的行波解与时-空周期异宿解构造若干新型的整体解为目标。特别地，将理论结果应用到具体的传染病学与生态学模型，探讨非局部扩散、时间与空间的周期性对疾病传播和种群入侵的影响。项目的完成将为扩散系统的动力学研究提供一些新的研究思路和方法，进一步丰富反应扩散方程理论。

本项目主要研究了时-空间周期环境下非局部扩散系统的动力学行为。所取得的主要成果包括：针对一类L-V型的空间周期竞争扩散系统，在双稳假设下，构造出了几类新型的整体解，其中一类形如两个周期波沿空间坐标轴相向传播，这些整体解构成一个二维流形，且行波解在这个流形的边界上；另一类整体解形如两个行波同向传播，速度快的追上并入侵速度慢的行波。针对时间周期的非局部扩散方程和非局部时滞方程，首先证明了时间周期行波解的唯一性；其次，通过建立该方程及相应线性方程的一系列的比较原理，证明了时间周期行波解的指数稳定性，并给出了指数衰减率。针对空间周期的格微分问题，首先利用离散抛物方程的Hanark不等式并建立半无界区域上的比较定理，证明了一类空间周期格动力系统的行波解在不稳定平衡点处的渐近行为以及唯一性；其次，提出了一个具有时滞的空间周期非局部格微分方程，建立了渐近传播速度与最小波速的存在性以及行波解的唯一性与稳定性；同时，研究了空间离散周期环境中，时滞和空间周期性对渐近传播速度的影响。结果发现与空间齐次情形相比，周期性会加快传播速度，而时滞会减慢传播速度。针对一般形式的时间周期反应扩散系统，利用粘性消失法证明了行波解的存在性，给出了行波解波速的上下界；将滑动技巧和挤压技术推广到此类系统证明了光滑时间周期行波解的唯一和全局指数渐近稳定性。.课题组共发表论文9篇(含录用1篇)，其中在微分方程领域期刊Journal of Differential Equations上发表论文2篇；在美国数学会期刊 Proceeding of the American Mathematical Society 上录用和发表论文2篇；美国数学科学研究所(AIMS)出版的期刊Discrete Cont.Dyn. Systems, Ser. A 上发表论文2篇；在非线性分析领域期刊Journal of Nonlinear Science上发表论文1篇。

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