时域与频域中的分支理论及其在时滞系统中的应用

Some basic knowledge，such as the Hopf bifurcation theory in time domain, the normal form theory and center manifold theory, the global Hopf bifurcation theorem, the Hopf bifurcation theory in frequency domain and direction index and stability index, etc., will be applied to investigate the dynamical behaviors including the stability, the existence of Hopf bifurcation, the direction, the stability and the period of Hopf bifurcation periodic solution of delayed differential equations. By means of MATLAB software, numerical simulations for justifying the theoretical analysis are also provided. Meanwhile, we will make a sensitive analysis on how the parameters, especilly the delays in system, affect the dynamical behavior of system and investigate wether periodic phenomenon and complexic chaotic behavior will occur. . The investigation of the project will provide some feasible methods of analysis, technical skills and simulation technique to deal with what the parameters of system have effect on the dynamical behaviors and further enrich the bifurcation theory of delayed differential equations. Based on the analysis, we can govern the laws of the change and development of system, make better use of and control systems. It can also provide the theoretical guide and technical support for human being. Therefore there are important theoretical significance and pratical value in investigating the Hopf bifurcation of these delayed differential equations.

本项目拟运用时域中的Hopf分支理论、中心流形和规范型理论、全局Hopf分支定理、频域中的Hopf分支理论及方向指标和稳定性指标等基本知识来研究时滞微分方程的稳定性、Hopf分支的存在性、Hopf分支周期解的分支方向、Hopf分支周期解的稳定性、Hopf分支周期解的周期等动力学行为。利用MATLAB软件对所得结论进行数值仿真以进一步验证所得结果的正确性。同时对系统中的参数（特别是时滞）对动力学行为的影响作出敏感性分析，考查系统是否出现周期现象和复杂的混沌行为。. 本项目的研究将为处理系统参数对动力学行为的影响提供一些可行的分析方法、技巧和仿真技术, 进一步丰富时滞微分方程的分支理论,同时对系统的动力学行为的分析，将为我们掌握系统的变化发展规律，更好地利用和控制系统，服务人类提供理论指导和技术支持。因此,对时滞微分方程的Hopf分支的研究具有重要的理论意义和实际应用价值。

现实世界中,客观事物的变化发展规律是复杂多样的,诸多情形不仅仅只考虑事物的当前状态,而且需要考虑事物过去的历史,因此用时滞微分方程才能更好地描述自然现象、刻画事物的变化发展规律。时滞微分方程在核物理学、航天科学、生态系统、经济系统、控制理论和工程系统、化学、医学、生命科学中不断涌现,时滞动力学的理论成了这些学科的发展迫切需要的基础,于是对时滞微分方程的动力学行为的研究引起了广大学者的兴趣。分支问题是时滞动力学和非线性微分方程中的重要研究课题之一。在自然界中,分支现象是普遍存在的,它一直受到数学家、物理学家及工程技术人员的关注。.本项目主要研究了如下几个方面的问题：(i) 4 阶及其4阶以上的超越方程的特征根的分布问题、常系数的时滞微分方程和含有依赖时滞的系数的时滞微分方程的Hopf分支存在性Hopf分支及特性问题。(ii)运用频域中的Hopf分支理论研究常系数时滞微分方程的Hopf分支特性。比较时域法和频域法研究时滞微分方程的Hopf分支特性的优劣。(iii)运用频域中的Hopf分支理论研究含有依赖时滞的系数的时滞微分方程的Hopf分支特性。 (iv)运用频域中的Hopf分支理论研究时滞微分方程的Hopf分支方向时运用方向指标的判断分支方向问题。.本项目的研究得到了如下重要结果：(i）初步解决了一些高阶的时滞微分方程的特征方程的特征根的分布问题。（ii）找到了某些具有时滞或者含有依赖时滞的系数的时滞微分方程的Hopf分支存在的条件和决定Hopf分支的特性的算式。找到了Hopf分支存在的某些时滞临界值。（iii）运用频域中的Hopf分支理论建立了时滞微分方程的Hopf分支存在的充分条件及得到判断Hopf分支特性的算式。(iv)找到了运用比较时域法和频域法研究时滞微分方程的Hopf分支特性的优劣。. 本项目的研究为探讨时滞微分方程的动力学行为提供一些可行的分析方法和仿真技巧,所得研究成果为人类掌握系统的变化发展规律,更好的控制系统,服务人类提供理论支持,同时研究成果不仅丰富时滞微分方程的分支理论,还进一步发展非线性分析的理论和方法，部分研究成果改进国内或者国际的已有结果。研究成果能在力学、物理学、化学、生物学、生态学、控制、数值计算、工程技术、以及经济学和社会学中得到了广泛的应用，具有重要的理论意义和实际应用价值。

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