量子散射中的异常现象、Levinson 定理及其它

主要取得了三方面的进展。1. 从 Dirac 方程出发，重新研究了自旋为 1/2 的相对论粒子在中心力场中的低能散射。发现当势场的参数满足一定条件使得其支持某些角动量通道的临界能量解时，可以出现显著的极化效应。具体来说，对于沿入射方向极化的零能粒子，一般情况下，其极化方向在散射后不会发生变化，如所期望。然而，当势场参数满足上述条件时，相当大部分的粒子在散射后将发生极化反转。对于最简单的球方势阱，如果其深度取值恰当，则发生极化反转的粒子在散射粒子中的比例可以达到53.8%。这一结果超出直观的物理预期，作为实例之一显示了量子理论的微妙之处。这也是典型的散射异常现象。2. 重新研究了量子力学中的受激跃迁问题。用非微扰解法，获得原子在弱电磁波影响下发生跃迁的概率的复杂 Rabi 振荡形式。在微扰条件下，我们的结果退化为微扰论的结果。但在共振情况下，结果则颇为不同。特别是，非微扰结果在共振频率处没有奇性。在一般结果中，电偶极跃迁选择定则只在短时间内近似成立。长时间后，禁戒跃迁概率、包括属于同一能级的不同态间的跃迁概率，会变得与允许跃迁的概率具有同样的量级。这对于量子力学教科书中的相关内容是有益的修正和补充。3. 对含有 Bessel 函数或相关函数的无穷积分，系统地发展了围线积分和留数定理的计算方法。包含 Bessel 函数或相关函数的无穷积分是数学物理中的一个重要问题。文献上虽然存在若干方法用以计算此类无穷积分，但基本上都是具体积分具体计算，而未能给出适用于一大类积分的公式。我们在围线积分和留数定理的框架内，发展了系统的计算方法，导出了若干一般积分公式，其被积函数是一般有理分式、幂函数与 Bessel 函数 (或与其密切相关的特殊函数) 三者的乘积。这些公式对于其中出现的有理分式的形式没有限制，只需保证积分收敛即可，所以每个公式都可以应用于一大类被积函数。还建立另一无穷积分公式，其被积函数是一般有理分式、幂函数与两个 Bessel 函数四者的乘积。这些公式使得相关积分的计算大大简化。而过去计算这些积分比较困难，有些就我们所知则无法计算。本工作的思路和方法还可以推广到类似的无穷积分。