MHD方程边界层问题的研究

The boundary layer theory is an important subject in fluid mechanics. A large number of experimental data and numerical results support the theory. However, it is very difficult to study problem on mathematical basis of boundary layer theory, so far there are few results. In this project, we mainly study problems on boundary layer for MHD equations. MHD, which concerns the motion of conducting fluids in an electromagnetic field, has a very broad range of applications in many fields, such as astrophysics, geophysics and aerodynamics, and is one of the most important models in fluid mechanics. The main interest of this project is twofold. First, we will study the boundary layer effect and boundary layer thickness for 1D compressible MHD equations, which include three problems: the relation between the thickness function and the viscosity coefficient as the viscosity coefficient tends to zero, the relation between the thickness function and the magnetic diffusion coefficient as the diffusion coefficient tends to zero, and the relation among the thickness function, the viscosity coefficient and the diffusion coefficient as the two coefficients tend to zero at the same time (for example, they are equal and tend to zero). The state equations we consider here include both the ideal gas case and the case of thermal radiation. Moreover, we will study boundary layer for 3D incompressible MHD equation with non-characteristic boundary. For these, we need to overcome some serious difficulties due to the presence of the magnetic field and its complex interaction with the hydrodynamic motion.

边界层理论是流体力学中的一个重要课题。大量的实验数据和数值结果都支持这一理论。然而，研究边界层理论的数学基础问题却非常困难，至今已取得的研究成果也很少。本申请项目拟研究MHD方程的边界层问题。MHD方程描述了导电流体在电磁场中的运动状态，在天体物理学、地球物理、空气动力学等领域具有广泛的应用，是流体力学中最重要的模型之一。本申请项目拟研究：(1)一维可压缩MHD方程的边界层效应和边界层厚度估计，包括三个方面：一是当粘性系数趋于零时，边界层厚度函数与粘性系数之间的关系；二是当磁扩散系数趋于零时，边界层厚度与磁扩散系数之间的关系；三是当粘性系数和磁扩散系数都趋于零时(例如两个系数相等且趋于零)，边界层厚度与两个系数之间的关系。考虑的状态方程包括两类情形：一类是理想气体情形，另一种是受热辐射影响的情形。(2)具非特征边界的三维不可压缩MHD方程的边界层。在研究过程中，需要克服由磁场的影响。

边界层理论是流体力学中的一个重要课题。大量的实验数据和数值结果都支持这一理论。然而，研究边界层理论的数学基础问题却非常困难，至今已取得的研究成果也很少。本项目开展了关于磁流体动力学(MHD)方程的边界层问题及相关扩展问题的研究。这些方程描述了导电流体在电磁场中的运动状态等具有实际背景的模型，在天体物理学、地球物理、空气动力学等领域具有广泛的应用，是流体力学中最重要的模型之一。本项目重点开展了如下研究：(1)一维可压缩MHD方程的边界层效应和边界层厚度估计，包括两个方面：一是当粘性系数趋于零时，解的收敛问题；二是边界层厚度函数与粘性系数之间的关系。考虑的状态方程主要是理想气体情形。(2) 研究了海洋动力学中一类原始方程的小粘性极限及边界层问题。(3)研究了具阻尼和扩散的一类非线性发展方程的小扩散极限和边界层厚度估计问题。此外，还开展了三维不可压缩磁流体动力学方程初边值问题的边界层问题的初步研究。. 主要结果包括：(1)借助于线性抛物方程的Lp估计并结合能量估计技巧，比较成功地克服了由磁场所带了的一些困难，证明了平面磁流体动力学方程小粘性极限，并得到了几乎最优的边界层厚度估计。这些结果发表在国际知名期刊M3AS上。（2）研究了海洋动力学中一类原始方程的边界层问题，并得到了确切的边界层厚度。(3)研究了具阻尼和扩散的一类非线性发展方程的小扩散极限和边界层厚度估计问题,改进了已有的相关工作。此外，借助研究MHD方程的一些方法与技巧，还开展了与本项目有关的一些扩展研究。. 本项目的研究成果是对有关磁流体动力学方程组等有关研究的重要补充，在研究过程中所使用的一些新技巧将对研究其他类似问题提供参考。

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