光滑与分段光滑退化系统的若干分岔问题

The study of the bifurcation of smooth and piecewise smooth degenerate differential systems has been greatly developed in the past few decades and has been widely used. Some complex bifurcations happen because of small changes of degenerate differential systems. Under perturbations, the topological structure of the systems with degeneration can display rich and complicated dynamics. We mainly research the bifurcation of degenerate differential systems from three aspects: the versal unfolding of degenerate systems, the bifurcation of degenerate center systems, and the bifurcation of piecewise smooth degenerate systems. When the system has a highly degenerate equilibrium, it is difficult to investigate the normal form and unfolding, the degenerate center problem and bifurcation, and some special bifurcation phenomena such as sliding bifurcation and grazing bifurcation due to nonsmooth factors. Therefore, the investigation of bifurcations for degenerate differential systems is of great significance in both theory and application. The purpose of this application is to develop the method of studying the bifurcation of differential systems under different ranges and degeneracy, and to compare the bifurcation phenomena and singular solutions of the systems under different smoothness.

光滑和分段光滑退化微分系统分岔的研究在过去几十年得到了极大的发展，并有着广泛的应用。一些复杂的分岔是来自于退化微分系统的微小变化，在扰动下退化微分系统的拓扑结构随着退化程度的不同而呈现丰富且复杂的动力学性态。我们主要从高阶退化系统的普适开折、退化中心系统的分岔、分段光滑退化系统的分岔这几个方面研究退化微分系统的分岔问题。当系统具有高度退化的奇点等结构时，它的化简与开折、退化中心问题判定及分岔研究、以及因为非光滑因素而发生的滑动分岔、擦切分岔等分岔现象的分析都相当困难。因此，退化微分系统分岔的研究在理论与应用上都具有重要的意义。本项申请旨在发展研究微分系统在不同范围和不同退化程度下分岔的方法，比较在不同光滑度下系统特有的分岔现象与解的奇异行为。

本项目主要研究光滑与分段光滑退化系统的分岔及动力学问题，包括退化系统的普适开折、退化中心系统的分岔、光滑与分段光滑系统的全局分岔这几个方面的研究。微分系统往往涉及到一些参数，普适开折关注的是对动力系统拓扑结构变化起关键作用的参数的影响。但当系统具有高度退化的奇点等结构时，它的开折与分岔、从而引起系统拓扑结构变化的分析异常困难。高退化情形下，我们克服了经典的Poincare正规形理论不再适用的困难，给出新的研究正规形的方法。向量场的拓扑结构往往是由一些重要的低次项决定的，在保持物理或者生物意义的退化Monodromy场族、退化奇Lienard场族和广义LV场族中证明开折的普适性，进一步得到了普适开折系统的所有分岔现象。对光滑以及非光滑拟齐次微分系统、A−Riccati方程、二次齐次微分系统及强Monodromy系统的退化中心给出判定的方法，进一步得到系统的大范围动力学。. .对一些实际问题建模为微分方程的动力学研究中，我们对具有不定次数的Higgins–Selkov和Selkov糖酵解系统、周期的Josephson方程、具有干摩擦的不连续机械系统、非对称的具有三个分区的分段线性系统及光滑或非光滑振子系统的极限环分岔和全局动力学进行了完整的研究。我们克服平均法、奇异摄动方法不能使用的困难，得到了其丰富而复杂的动力学现象，分别清楚地阐述了它们的Hopf分岔、Bogdanov-Takens分岔、同宿环分岔、两鞍点异宿环分岔、上鞍点连接分岔和下鞍点连接分岔，及非光滑微分系统特有的 scabbard分岔、grazing分岔、gluing分岔、穿越极限环分岔和伪鞍结点环分岔等现象，给出极限环存在性及个数问题的新判据，解决了西班牙科学院院士J. Llibre教授等人在前面相关研究中提出的关于极限环问题的猜想及遗留的分岔问题。

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