極小モデル理論とＡＣＣ予想の研究

最小模型理论与ACC猜想研究

基本信息

批准号：
13J03003
负责人：
中村勇哉
金额：
$ 2.11万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2013
资助国家：
日本
起止时间：
2013-04-01 至 2016-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

今年度は(1) 極小モデル理論と有理点の関係、(2) 基礎体が有限体の代数閉包である場合の極小モデル理論、 (3) ACC予想とLSC予想に関連する新しい予想の定式化、について研究を進めた。以下、研究成果を詳述する。(1) 有限体上定義された非特異ファノ多様体は有理点をもつというEsnault氏の結果がある。今年度はこの定理を非特異多様体のセッティングで考えた。結果として、標数7以上の3次元ファノ型多様体が有理点を持つことが証明できた。これは、3次元KLT多様体のWO-有理性と、3次元ファノ型多様体の有理鎖連結性から従う。WO-有理性は標数0のアナロジーとして今後の極小モデル理論の進展に有効であると考えている。(2) 昨年度に引き続き、基礎体が有限体の代数閉包である場合の極小モデル理論を研究した。昨年度、有限体の代数閉包上定義された3次元ログ標準対に対して、固定点自由定理を”巨大な”直線束について (標数によらない形で) 証明していた。今年度は標数7以上という仮定の下、この定理から”巨大”という仮定を外す事ができた。Hacon-Xu, Birkar, Birkar-Waldronらによる3次元多様体(正標数)における極小モデル理論の進展が鍵となった。(3) ACC予想に関連して、極小ログ食い違い係数を与えるようなブローアップの列の長さに関して予想を立てた。 LSC予想に関連しては、PIA予想と組み合わせることで「上空の因子の交わり方」という幾何的な条件に帰着させることが出来た。

今年，我们将重点关注（1）极小模型理论与有理点之间的关系，（2）当基本域是有限域的代数闭包时的极小模型理论，以及（3）与我们对 ACC 和 LSC 猜想进行了研究。研究结果详述如下。 (1) Esnault 的结果表明，有限域上定义的非奇异 Fano 流形具有有理点。今年，我们在非奇异流形的设置中考虑了这个定理。结果，我们能够证明特征为 7 或以上的 3 维 Fano 型流形具有有理点。这是根据 3 维 KLT 流形的 WO 有理性和 3 维 Fano 型流形的有理链连通性得出的。我们相信，WO-理性作为特征 0 的类比，对于最小模型理论的未来发展将是有用的。 (2) 继去年之后，我们研究了当基本域是有限域的代数闭包时的最小模型理论。去年，我证明了在有限域代数闭包上定义的三维对数标准对的“巨大”直线束（与特征无关）的不动点自由定理。今年，我们能够在特征为 7 或更大的假设下从该定理中删除“巨大”假设。关键是Hacon-Xu、Birkar、Birkar-Waldron等人对三维流形（正特征）的最小模型理论的发展。 (3) 与 ACC 猜想相关，我们对给出最小对数差异系数的放大序列的长度做出了猜想。对于LSC猜想，通过将其与PIA猜想结合，我们能够将其简化为“天空中的因素如何相交”的几何条件。