極小モデル理論に現れる特異点の理論

最小模型理论中出现的奇点理论

基本信息

批准号：
18K13384
负责人：
中村勇哉
金额：
$ 2.66万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
财政年份：
2018
资助国家：
日本
起止时间：
2018-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

(1) 今年度は、昨年度に引き続き、商特異点の極小ログ食い違い係数について研究した。超商特異点とは超曲面特異点の有限商となっているような特異点のクラスである。極小ログ食い違い係数に関する予想としてLSC(lower semi-continuity)予想とPIA(precise inversion of adjunction)予想があり、極小ログ食い違い係数を研究するモチベーションとなっている。一昨年度、群作用が線形である場合に、PIA予想とLSC予想の成立を証明し、昨年度は、群作用が非線形である場合にその議論を拡張している。本年度は、超商特異点とは限らない一般の商多様体について考察した。群の商を考えない場合には、Ein-Mustata、川北、石井により、defect idealを使った研究が知られている。本年度は、この議論を、商多様体に拡張する方向性で研究し、部分的な結果を得ることができた。(2) 商特異点におけるShokurovのindex予想を研究した。Shokurovのindex予想とは、「正規代数多様体の次元と極小ログ食い違い係数を固定した場合に、その標準因子のCartier指数が上に有界となる」という予想である。商特異点の場合にこの予想を証明することができた。有限生成群についてのJordanの定理と呼ばれる定理を適用し、アーベル群の商に帰着することが証明の鍵となっている。アーベル群の商である場合には、特異点はトーリックとなり、組合せ論的な議論が可能となる。

(1)今年继去年的基础上，我们研究了商奇点的最小对数差异系数。超商奇点是一类奇点，它们是超曲面奇点的有限商。关于最小对数差异系数有两个猜想，LSC（下半连续性）猜想和PIA（附加的精确反演）猜想，这为研究最小对数差异系数提供了动力。两年前，我们证明了当群作用是线性时，PIA猜想和LSC猜想成立，去年我们将论证扩展到群作用是非线性的情况。今年，我们考虑了一般商变体，它们不一定是超商奇点。当不考虑群商时，Ein-Mustata、Kawakita 和 Ishii 因其使用缺陷理想的研究而闻名。今年，我们朝着将这一论证延伸到商簇的方向进行了研究，并取得了部分成果。 (2)研究了商奇点处的Shokurov指数猜想。肖库洛夫指数猜想是这样的猜想：“如果正态代数簇的维数和最小对数差异系数固定，则其标准除数的卡地亚指数有界。”我们能够在商奇点的情况下证明这个猜想。证明的关键是应用一个称为乔丹定理的有限生成群定理，并将其约化为阿贝尔群的商。如果它是阿贝尔群的商，则奇点是环面的，并且组合论证成为可能。