マルコフ過程の線形増大に関する現象の普遍性

与马尔可夫过程线性增长相关的现象的普遍性

基本信息

批准号：
22K18675
负责人：
塩沢裕一
金额：
$ 2.41万
依托单位：
Osaka University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Challenging Research (Exploratory)
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-06-30 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

本年度は、リーマン多様体上のブラウン運動の動径過程に対して、Berry-Esseen 型定理の研究に取り組んだ。双曲空間上のブラウン運動の動径過程に対しては、確率微分方程式の解としての表示を用いて、中心極限定理が示される。一方で、Berry-Esseen 型定理の導出について検証を行ったところ、中心極限定理には影響しないような、低次のランダムな剰余項の解析が必要であることが判明した。特に確率微分方程式の解による表示および１次元拡散過程の Feller 判定法のみでは、解析が困難であることが予想された。一方で、3次元の場合には推移確率が初等的に表示されることを用いて、Berry-Esseen 型定理を示すことができた。特に、収束レートは通常の Berry-Esseen 型定理と変わらないことが分かった。研究計画策定時には、推移確率の表示が一般には困難であることから、確率微分方程式の解を通じた解析手法を想定していた。しかし、研究開始後の調査により、推移確率については、Gruet (1996) により積分表示が得られていることが判明した。３次元の場合の考察を合わせて、推移確率の表示を積極的に取り入れる方針に変更した。この表示の漸近解析を行い、Berry-Esseen 型定理を証明するという方針が立った。本課題採択の直前に、一般化エレファントランダムウォークと呼ばれる、過去全体の挙動に依存したマルコフ過程のモデルについて極限定理を導出し、論文を執筆および投稿した。このモデルも、ドリフトと相関の強さに応じて、増大度に関して（劣）線形性を有するとともに、その中心化が中心極限定理をみたす。このモデルの解析は、研究計画策定時には想定していなかった。しかし、本研究課題に関わることから、本研究課題に関する研究活動の一環として、この研究成果をセミナーで発表をするとともに、研究打ち合わせを行った。

今年，我研究了黎曼流形上布朗运动径向过程的 Berry-Esseen 型定理。对于双曲空间上布朗运动的径向过程，使用随机微分方程的解来表示中心极限定理。另一方面，当我们验证Berry-Esseen型定理的推导时，我们发现需要分析一个不影响中心极限定理的低阶随机余项。特别是，仅使用随机微分方程的解表示和一维扩散过程的 Feller 判断方法，预计分析会很困难。另一方面，在三维情况下，我们能够通过使用转移概率的基本表示来展示 Berry-Esseen 型定理。特别是，我们发现收敛速度与通常的 Berry-Esseen 型定理没有什么不同。在制定研究计划时，由于通常难以显示转移概率，因此我们假设采用随机微分方程解的分析方法。然而，研究开始后的调查表明，Gruet（1996）已经获得了转移概率的积分表达式。结合三维情况的考虑，我们改变了策略，积极纳入转移概率的显示。这个想法是对这种表示进行渐近分析并证明 Berry-Esseen 型定理。就在这个项目被接受之前，我导出了一个依赖于整个过去的行为的马尔可夫过程模型的极限定理，称为广义大象随机游走，并撰写并提交了一篇论文。该模型还具有取决于漂移和相关性强度的增加程度的（亚）线性，并且其中心满足中心极限定理。在制定研究计划时并没有预料到会对该模型进行分析。然而，由于它与本研究课题相关，因此作为与本研究课题相关的研究活动的一部分，我们在研讨会上介绍了本研究结果并召开了研究会议。