特異点理論の情報幾何学への応用探究～《特異モデルの情報幾何学》の創設

探索奇点理论在信息几何中的应用——创建“奇异模型的信息几何”

• 批准号: 22KJ0052
• 负责人: 中島 直道
• 金额: $ 1.09万
• 依托单位: Waseda University (2023)Hokkaido University (2022)
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2023
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2023-03-08 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22KJ0052/
• 关键词: 情報幾何学; 特異点理論; 双対平坦構造; 特異モデル; マルコフモデル; 波面

本研究の目的は，特異モデルの情報幾何学に当たる概ヘッセ多様体の理論を用いた統計科学・情報科学への応用可能性を検討すること，およびその理論深化を行うことであった．本年度は以下の課題について取り組んだ．（１）概ヘッセ多様体の計量の退化を引き起こす特異点についての特徴づけ：この特異点は概ヘッセ多様体に備わる波面の特異点として捉えることができ，波面に現れる典型的な特異点の標準形をアファイン座標系において導出した．この標準形は特異点周りの情報幾何的（アファイン微分幾何的）解析を可能とするものである．また，そのような特異点の存在条件を概ヘッセ多様体上の正準ダイバージェンスにより与えた．この条件式は概ヘッセ多様体上の幾何学と統計多様体の幾何学との関連を示唆するものである．以上の結果を論文としてまとめた．（２）拡大マルコフモデルの幾何学について：統計学で用いられるマルコフモデルの情報幾何学的な構造は長岡浩司氏（電気通信大学名誉教授）・竹内純一氏（九州大学）らによって研究されており，特に竹内氏の導入した拡大マルコフモデルは退化したフィッシャー計量を持つ空間である．大本亨氏（早稲田大学）と金野聖平氏（北海道大学院生）との共同研究により拡大マルコフモデルに概ヘッセ構造が入ることを示し，そのポテンシャル関数の陽的な表示を与えた．また，拡大マルコフモデルには情報幾何学における正測度空間の理論に基づく双対平坦構造が入ることが期待され，現在はこの方向性の検討を行なっている．

本研究的目的是考察对应于奇异模型信息几何的近似Hessian流形理论应用于统计科学和信息科学的可能性，并深化该理论。今年，我们主要做了以下几个方面的工作。 (1)引起粗Hessian流形度量退化的奇点的表征：该奇点可以视为粗Hessian流形波前的奇点，是波前出现的典型奇点的标准。该形状是在仿射坐标系中导出的。该标准形式使得能够围绕奇点进行信息几何（仿射微分几何）分析。此外，这种奇点存在的条件是由近似 Hessian 流形上的正则散度给出的。该条件表达式表明了近似 Hessian 流形上的几何形状与统计流形上的几何形状之间的关系。上述结果总结在一篇论文中。 (2)关于扩展马尔可夫模型的几何：统计中使用的马尔可夫模型的信息几何结构由长冈浩司(电气通信大学名誉教授)、竹内纯一(九州大学)等人特别研究。 ，Takeuchi 引入的扩展马尔可夫模型是一个具有简并 Fisher 度量的空间。通过与 Toru Omoto（早稻田大学）和 Seihei Konno（北海道研究生）的联合研究，我们表明扩展马尔可夫模型具有大致的 Hessian 结构，并提供了其潜在功能的明确表示。另外，预计扩展马尔可夫模型将包括基于信息几何正确测度空间理论的双平面结构，我们目前正在研究这个方向。

项目成果

ルジャンドル特異点と情報幾何学

勒让德奇点和信息几何

• 发表时间: 2022
• 作者: 中島直道

アファイン座標系におけるem-波面の標準形について

关于仿射坐标系中电磁波前的标准形式

• 发表时间: 2022
• 作者: 中島直道