有界対称領域上の微分方程式の大域解とペンローズ変換

有界对称域上微分方程的全局解和彭罗斯变换

基本信息

批准号：
08740104
负责人：
関口英子
金额：
$ 0.64万
依托单位：
Kobe University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
财政年份：
1996
资助国家：
日本
起止时间：
1996 至无数据
项目状态：
已结题

项目摘要

A型リー群の有界対称領域に対して以下に述べるプロジェクト1,2,3を完成させた。1.ペンローズ変換の構成次の2つの変換をモデルとして,数理物理で初めて用いられたペンローズ変換を非コンパクトかつ高次元の複素多様体に拡張して構成できることを証明した。(1)(積分幾何における立場)部分多様体の族が与えられているとき,各部分多様体の上で積分する(ラドン変換,X線変換など)。(2)(コホモロジーの引き戻し)部分多様体の族が与えられているtoki,コホモロジーの元を各部分多様体に引き戻すことができる。2.佐藤幹夫氏の概均質ベクトル空間の理論の有界対称領域への応用次の2つの定理を定式化し,証明した。(1)1で構成したペンローズ変換の像が満たす偏微分方程式を具体的に求めること。(2)逆に微分方程式を満たす任意の正則函数がペンロース変換の像として得られること。概均質ベクトル空間の理論を用いて(1)と(2)を研究する新しい手法を開発した。特別な場合には,複雑な計算の過程が、特別な可解リー群の概均質ベクトル空間の相対不変式とb-函数を用いることで一挙に簡単になることを(関口,博士論文)で見いだした。この計算を追求することによって、b-函数と差分方程式を用いる原理を見いだし,(1)と(2)を証明した。可解リー群としては有界対称領域の運動群(半単純リー群)のBorel部分群がその役割を担い,Bruhat分解における変数分離の手法が鍵となった。3.Gauss-青本-Gelfandの超幾何微分方程式の高階への拡張と解の有限次元性定理ペンローズ変換はMaxwellの微分方程式の解を構成するのに用いられたわけであるが、我々の高次元への拡張では微分方程式系が,丁度,Gauss-青本-Gefandの超幾何微分方程式の高階化となっている、大域解の空間の次元が有限であることを小林俊行氏(東大)によるユニタリ表現の分岐に関する最近の一般論を援用して証明した。

下面描述的项目 1、2 和 3 是针对 A 型李群的有界对称域完成的。 1.彭罗斯变换的构造我们以以下两个变换为模型，证明了最早应用于数学物理的彭罗斯变换可以扩展到非紧、高维复流形。 (1)（积分几何中的标准）当给定一组子流形时，对每个子流形进行积分（Radon 变换、X 射线变换等）。 (2)（上同调的回拉）当给定子流形族时，可以将上同调元素回拉到每个子流形。 2. 佐藤干雄的近齐次向量空间理论在有界对称域上的应用我们制定并证明了以下两个定理。 (1) 具体求出1中构造的彭罗斯变换图像所满足的偏微分方程。 (2) 反之，任意满足微分方程的全纯函数都可以得到作为彭罗斯变换的图像。我们开发了一种使用近似齐次向量空间理论来研究（1）和（2）的新方法。在特殊情况下，已经表明（Sekiguchi 博士论文），通过使用特殊可解李群 I 的近似齐次向量空间的相对不变量和 b 函数，可以立即简化复杂的计算过程。找到了。通过计算，我们发现了使用b函数和差分方程的原理，并证明了（1）和（2）。作为可解的李群，有界对称域中的运动群（半单李群）的Borel子群就起到了这一作用，而Bruhat分解中变量分离的方法是关键。 3. Gauss-Aomoto-Gelfand 超几何微分方程向高阶的推广以及解的有限维定理彭罗斯变换被用来构造麦克斯韦微分方程的解，但是我们的高维在推广到Toshiyuki Kobayashi（东京大学）最近关于酉表示分岔的研究表明，方程组只是高斯-青本-格凡德超几何微分方程的高阶，并且全局解的空间维数是有限的。使用一般理论证明了这一点