elliptic logarithmの漸近的挙動の研究

椭圆对数渐近行为的研究

基本信息

批准号：
08740014
负责人：
秋山茂樹
金额：
$ 0.64万
依托单位：
Niigata University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
财政年份：
1996
资助国家：
日本
起止时间：
1996 至无数据
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-08740014/
关键词：
ヤコビ和楕円数列楕円対数関数リーマンゼータ関数楕円曲線

项目摘要

今年度の研究は主に2つの事をあつかった。まず第一の点についてのべる。強可除性を持つ数列の最小公倍数の漸近挙動を調べる問題は素数定理をはじめとして素数分布を調べる事と関係して常に重要視されてきた整数論の歴史的問題である。この強可除性という概念の重要性はM.Wordのいくつかの重要な仕事を除いてなぜかあまり注目されていなかったが、筆者の近年の研究によって少しずつ明らかになってきた。これを自然に一般化する事で楕円曲線に対応するelliptic sequenceの概念に至る。すなわち強可除性をもつ整数列を楕円関数論から自然に生ずる数列として実現できる。さらにそれらの数列の挙動を詳しく調べる事でζ(3)と結びつく漸近式を得られた。その手法のなかでもっとも困難な部分はelliptic sequenceの絶対値の平均的漸近挙動であり、これを調べるため研究してきた技法が超越数論で近年Hirata-kohno,S.David等によって調べられているelliptic logarithmの挙動と結びつく事が最近になって分かった。従来elliptic logarithmの問題に接近する一般的な方法であるBakerの代数的数のlogの和の評価の手法とは全く異なり今回の方法はペ-関数の値の代数性を仮定せずに平均的漸近挙動を考える新たな方法論を与えており、この有効性を検証した。もう一つの研究はJacobi和のpurityの問題である。これは代数的組み合わせ論の問題意識から生じた問題であるが純粋に整数論の問題である。Jacobi和の絶対値はconductorの平方根となるが、conductorの平方根と1の巾根の積に書けるときにpureであるという。ここでは素体上2次の有限体のJacobi和のpurityの必要十分条件を一つの指標が2次の場合にきわめて具体的な形で決定した。証明は本質的にはStickelbergerの定理によるがさらに複雑な初等的議論を必要とする。これに類する具体的結果は今まで見つかっておらず興味深い。

今年的研究主要集中在两件事上。首先我来说说第一点。研究强整除数列的最小公倍数的渐近行为问题是数论中的一个历史问题，对于素数分布（包括素数定理）的研究一直很重要。由于某种原因，除了M.Word的一些重要著作之外，这种强整除性概念的重要性并没有受到太多关注，但通过我最近的研究，它逐渐变得更加清晰。通过自然地推广这一点，我们得到了椭圆序列的概念，它对应于椭圆曲线。换句话说，强整除整数序列可以实现为椭圆函数理论自然产生的序列。此外，通过详细研究这些序列的行为，我们能够获得连接到 z(3) 的渐近方程。该方法最困难的部分是椭圆序列绝对值的平均渐近行为，研究这一问题的技术是超越数论，近年来由 Hirata-Kohno, S. David 等人最近发现这与椭圆对数的行为有关。该方法与Baker评估代数数对数之和的方法完全不同，后者是解决椭圆对数问题的常用方法，提供了一种考虑渐近行为的新方法，并验证了其有效性。另一项研究是雅可比和的纯度问题。这个问题源于对代数组合问题的认识，但它纯粹是数论中的问题。雅可比和的绝对值是导体的平方根，如果可以写成导体的平方根与1的宽度根的乘积，则称其为纯的。这里，我们非常具体地确定了当一个指数为 2 次时，2 次有限域在素数域上的雅可比和的纯度的充要条件。该证明本质上依赖于斯蒂克伯格定理，但需要更复杂的基本论证。这很有趣，因为迄今为止尚未发现与此类似的具体结果。