半無限旗多様体を用いた量子Schubert calculusの研究

使用半无限标志流形研究量子舒伯特微积分

基本信息

批准号：
22KJ2908
负责人：
河野隆史
金额：
$ 2.83万
依托单位：
Waseda University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2023
资助国家：
日本
起止时间：
2023-03-08 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

本研究では，一般旗多様体の同変量子K環の代数的構造を調べた．Buch-Chaput-Mihalcea-Perrinの結果により，同変量子K環の代数的構造は，Chevalley公式により決定される．そのため，Chevalley公式の組合せ論的な記述を目指した．研究計画では，Lenart-内藤-佐垣による旗多様体に対するChevalley公式を，加藤によるよい全射で一般旗多様体の同変量子K環へ写し，得られた一般旗多様体に対するChevalley公式のうち余分な項を打ち消すという流れを想定した．しかし，上述の打ち消しを記述するためには，量子Bruhatグラフを用いた複雑な場合分けが必要であり，困難であると判明した．そこで，新たにアフィンGrassmann多様体を利用することを試みた．加藤の結果により，アフィンGrassmann多様体の同変Kホモロジー環から一般旗多様体の同変量子K環へ，適切な局所化のもとで全射が存在する．アフィンGrassmann多様体の同変Kホモロジー環の記述ではYoung図形を利用でき，量子Bruhatグラフより簡潔である．そこで，この全射を用いて，アフィンGrassmann多様体の同変Kホモロジー環においてChevalley公式の打ち消しを記述することを目指した．2022年度は，C型のLagrangian Grassmann多様体に対して，Young図形を用いて打ち消しを記述し，既存の量子Bruhatグラフによる記述と同値であることを確かめた．また，この打ち消しが上述の全射の核を表すために十分な関係式であることを，大部分確かめた．並行して，C型の旗多様体の同変量子K環を，Laurent多項式環の剰余環として表示することを試み，その証明の大筋を得た．この表示も，最終目標である一般旗多様体の同変量子K環の代数的構造の決定に役立つと考えられる．

在本研究中，我们研究了一般旗品种等变量K环的代数结构。根据Buch-Chaput-Mihalcea-Perrin 结果，等变量K-代数的代数结构由Chevalley 公式确定。因此，我们的目标是对Chevalley公式进行组合描述。在研究计划中，将Lenart-Naito-Sagaki的旗帜品种的Chevalley公式通过加藤良满射转移到通用旗帜品种的同变量K环上，得到的通用旗帜品种的Chevalley公式为我们假设一个流程取消额外条款。然而，为了描述上述抵消，需要使用量子 Bruhat 图进行复杂的情况分类，结果证明这是很困难的。因此，我们尝试使用新的仿射格拉斯曼流形。根据Kato的结果，在适当的定位下，存在从仿射Grassmann簇的等变K-同源环到一般旗簇的等变K-环的满射。杨氏图可以用来描述仿射格拉斯曼流形的等变K同调环，它比量子Bruhat图更简洁。因此，我们的目的是使用该满射来描述仿射格拉斯曼簇的等变 K 同调环中 Chevalley 公式的取消。 2022年，我们使用杨氏形状描述了C型拉格朗日格拉斯曼流形的抵消，并证实它与使用现有量子Bruhat图的描述等效。我们也很大程度上证实了这种取消是表达上述满射核心的充分关系。同时，我尝试将C型旗簇的同变量K环表示为洛朗多项式环的陪集环，并得到了证明的轮廓。这种表示也被认为有助于确定一般标志变体的同变量 K 环的代数结构，这是最终目标。