絶対Euler積を用いた絶対ゼータ関数の研究

使用绝对欧拉积研究绝对 zeta 函数

• 批准号: 22KJ2684
• 负责人: 冨田 拓希
• 金额: $ 1.09万
• 依托单位: Keio University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2023
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2023-03-08 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22KJ2684/
• 关键词: 絶対ゼータ関数; 絶対数学; 絶対Euler積

絶対ゼータ関数とは、与えられた関数に対して定まる複素関数であり、与えられた関数が(Laurent)多項式環の元であるものについて今まで中心的に調べられてきた。本年度は、東京理科大学の平川義之輔氏との共同研究において、多項式環より広い解析関数のクラスAを導入し、それに対する絶対ゼータ関数を調べた。そして、Aの元に対する絶対ゼータ関数(またはその対数微分)に対して三つの表示(級数表示・積分公式・絶対Euler積)を得た。特に、絶対Euler積という無限積表示についての結果は、多項式に対する絶対ゼータ関数で既に得られていた絶対Euler積を一般化したものである。この結果により、研究の目的である絶対Euler積を用いた絶対ゼータ関数の幾何的特徴付けをするにあたって、与える関数がAの元であればその絶対ゼータ関数が絶対Euler積を持つと保証できるようになった。さらに、本年度平川義之輔氏との共同研究において、従来の方法では絶対ゼータ関数が“標準的に”定義できない幾何的対象に対して、標準的に絶対ゼータ関数を構成する手法を得た。その手法は、ある数列に対してその数列の増大度を反映するような“天井/床多項式"と呼ばれる関数を取る手法である。この手法によって、今までは扱えなかった楕円曲線に対して、関数等式を満たしたりBetti数と整合したりするような良い絶対ゼータ関数を標準的に定義することができた。この結果により、本研究で扱いたかったS代数のスペクトルに対して標準的に絶対ゼータ関数を構成するための土台が整った。以上の結果については、現在論文としてまとめている途中であり、論文が完成し次第投稿する予定である。

绝对 zeta 函数是针对给定函数确定的复杂函数，到目前为止，研究主要集中在给定函数是（洛朗）多项式环的元素的函数上。今年，我们与东京理科大学的平川义之助共同研究，引入了比多项式环更宽的A类解析函数，并研究了它的绝对zeta函数。然后，我们获得了 A 元素的绝对 zeta 函数（或其对数导数）的三种表示（级数表示、积分公式和绝对欧拉积）。特别地，关于绝对欧拉积的无限乘积表示的结果是已经使用多项式的绝对zeta函数获得的绝对欧拉积的推广。基于这个结果，当使用绝对欧拉积对绝对zeta函数进行几何表征时，这也是我们研究的目的，我们可以保证如果给定的函数是A的元素，那么绝对zeta函数有一个绝对欧拉积变成了。此外，在今年与平川义之助的联合研究中，我们发现了一种为无法使用传统方法“标准”定义绝对zeta函数的几何对象构建标准绝对zeta函数的方法。该方法使用称为“上限/下限多项式”的函数，该函数反映给定数字序列的增长程度。使用这种方法，我们能够标准化一个良好的绝对 zeta 函数的定义，该函数满足函数方程并与椭圆曲线的 Betti 数一致，这在以前是不可能的。这一结果为我们在本研究中要处理的 S 代数谱构建标准绝对 zeta 函数奠定了基础。目前上述成果正在整理成论文，计划完成后尽快提交。

项目成果

On the series expression of the logarithmic derivative of an absolute zeta function and its absolute Euler product

绝对zeta函数的对数导数及其绝对欧拉积的级数表达式

• 发表时间: 2022
• 作者: Takuki Tomita

Three aspects of absolute zeta functions

绝对zeta函数的三个方面

• 发表时间: 2023
• 作者: 冨田 拓希

天井多項式による絶対ゼータ関数の構成

利用上限多项式构造绝对 zeta 函数

• 发表时间: 2023
• 作者: 冨田 拓希