Reconsideration of the information geometric structures from the view point of deformed thermostatistics

从变形恒温学角度重新思考信息几何结构

基本信息

批准号：
22K03431
负责人：
和田達明
金额：
$ 2.66万
依托单位：
Ibaraki University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03431/
关键词：
情報幾何変形指数型分布エスコート分布熱統計学統計多様体

项目摘要

本研究は、熱統計学における変形指数型分布に関する物理現象の視点から情報幾何構造を再考し、変形指数型分布に付随するエスコート期待値に焦点をあてて、変形指数型分布の情報幾何構造を明らかにすることを主目的とする。先行研究において平衡熱力学における状態変数およびエントロピなどの熱力学的ポテンシャル関数と情報幾何学における自然座標とポテンシャル関数との対応関係が既に明らかになっているので、本年度はこれらの対応関係に基づいて変形指数型分布に関する物理現象の特徴について研究を遂行した。一般に物理現象を記述する上で、構成関係式は非常に重要である。良く知られている構成関係式は、例えば電気回路におけるオームの法則に代表されるように線形な関係式であるが、現実の物理現象を記述するには線形な構成関係式だけでは不十分である。そこで、非線型な構成関係式を構成関係式を変形関数を利用して構成する方法を研究し、具体的に変形指数型分布のひとつであるκ-変形指数関数とその逆関数であるκ-対数関数を利用して、従来の線型な構成関係式を非線型に拡張できることを示し、関連する研究成果をまとめ学術誌Entropyへ投稿して掲載された。また、別の先行研究において幾何光学における光線の経路を記述するアイコナール方定式やハミルトン・ヤコビ方程式、および情報幾何学における勾配流方程式との間の対応関係を明らかにしたが、この結果を発展させた研究を行った。情報幾何における勾配流方程式と解析力学との関係を明確にし、統計多様体を記述する計量としてRanders-Finslere計量を用いた勾配流方程式の変形を示した（arXiv論文）。

本研究从物理现象的角度重新思考变形指数分布在恒温学中的信息几何结构，并重点对与变形指数分布相关的护航期望进行澄清。前人的研究已经阐明了状态变量与平衡热力学中的熵等热力学势函数以及信息几何中的自然坐标和势函数之间的对应关系，我们对变形指数分布相关的物理现象的特征进行了研究。一般来说，本构关系表达式对于描述物理现象非常重要。众所周知的本构关系是线性关系，例如电路中的欧姆定律，但仅线性本构关系不足以描述真实的物理现象。因此，我们研究了一种利用变形函数构造非线性本构关系表达式的方法，特别关注变形指数分布之一的κ-变形指数函数及其反函数κ-变形指数函数他们证明了传统的线性本构关系可以使用对数函数扩展到非线性形式，相关研究成果总结并发表在学术期刊《Entropy》上。此外，在之前的另一项研究中，我们阐明了几何光学中描述光线路径的eikonal公式与Hamilton-Jacobi方程的对应关系，并对信息几何中的梯度流方程进行了研究。我阐明了信息几何和分析力学中梯度流方程之间的关系，并展示了使用 Randers-Finslere 度量作为描述统计流形的度量对梯度流方程的修改（arXiv 论文）。