Research of the topology of spatial graphs and their intrinsic properties

空间图的拓扑结构及其内在性质研究

基本信息

批准号：
22K03297
负责人：
新國亮
金额：
$ 2万
依托单位：
Tokyo Woman's Christian University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

１．nを7以上の整数とするとき，n頂点完全グラフの任意の空間グラフにおいて，それに含まれる Hamilton 結び目の Casson 不変量(Conway 多項式の2次の係数)の総和をmとおくと，mはnが8を法として0または7と合同であるとき，(n-5)! を法として (n-5)!/2 と合同であり，一方，nが8を法として0とも7とも合同でないとき，(n-5)! を法として0と合同である(森下-新國)．特に n=7 のときは Conway-Gordon の定理にほかならない．逆に整数mが上記の合同条件をみたせば，含まれる Hamilton 結び目の Casson 不変量の総和がmとなる空間n頂点完全グラフが存在することを示した．従って上記の合同条件はこれ以上細かくならず最良のものであることがわかった．この事実は2020年に1度非公式にアナウンスしたが，改めて議論を精査し証明を簡略化して，プレプリントにまとめ arXiv:math.GT/2211.00408 で公開した．２．絡み目内在性を特徴付けることで知られる Petersen 族と呼ばれる7つのグラフのうち，6頂点完全グラフ K_6 の線形空間グラフ内の結び目・絡み目の型と位置，個数は Hughes，Huh-Jeon により完全に決定されている．一方，7頂点のグラフについては，P_7 の線形空間グラフ内の絡み目の型と個数のみが有向マトロイドと計算機の援用によって求められている(Naimi-Pavelescu)．今回，瀨川理奈氏との共同研究により，Petersen 族の7頂点のグラフ P_7，Q_7 の線形空間グラフについて，ある特定の状況設定の下で，結び目・絡み目の不変量を用いた位相的な方法により，含まれる結び目・絡み目の型と位置，個数を決定した．

1.当n为大于或等于7的整数时，若m为n顶点完全图的任意空间图中包含的哈密顿结的卡森不变量（康威多项式的二次系数）之和，则m为n与0全等或 7 模 8，然后 (n-5) 模 8，(n-5)!/2另一方面，当 n 既不与 0 也不与 7 模 8 全等时，它与 0 模 (n-5) 全等（Morishita-Shinkuni）。特别是当n=7时，这只不过是康威-戈登定理。相反，我们证明，如果整数 m 满足上述同余条件，则存在一个空间 n 个顶点的完全图，其中包含的哈密顿结的卡森不变量之和为 m。因此，事实证明，上述同余条件是最好的，无需进一步详细说明。这个事实在 2020 年曾非正式地宣布过一次，但我们再次回顾了这一论点，简化了证明，将其编译成预印本，并发布在 arXiv:math.GT/2211.00408 上。 2.在被称为Petersen族的七个已知表征链接内在性的图中，6顶点完全图K_6的线性空间图中的结和链接的类型、位置和数量已被Hughes和Huh完全确定-全决定了。另一方面，对于具有 7 个顶点的图，仅使用有向拟阵和计算机（Naimi-Pavelescu）确定 P_7 线性空间图中的链接类型和数量。这次，我们通过与濑川里奈的联合研究，利用结和关系的拓扑不变量研究了Petersen族七顶点图P_7和Q_7的线性空间图在一定条件下的结的类型、位置和数量。并使用该方法确定涉及的链接。