準単項的付値による双有理幾何学とK安定性

双有理几何和拟单项式分配的 K 稳定性

基本信息

批准号：
22K03269
负责人：
藤田健人
金额：
$ 2.5万
依托单位：
Osaka University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-04-01 至 2027-03-31
项目状态：
未结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03269/
关键词：
K安定性極小モデル理論

项目摘要

準単項的付値に着目し、一般の偏極代数多様体のK安定性の双有理幾何やK安定性を考え直す取り組みを模索している。一般に偏極が標準因子とずれているような偏極代数多様体に対し、そのK安定性を考察するのは難しいとされる。これは様々な要因があるが、問題の難しさは線型系の次元の漸近挙動の評価が難しいことが問題の難しさの理由の大きな一つであると考えている。この観点で上手く「付値判定法」の類似物を模索していたが、今年度はその方向では進展を見せていない。その代わりに、具体例での（一般偏極での）K安定性の考察で、どのような不変量を考えるべきだろうかを簡単な代数多様体上で模索した。この方向では、四ツ谷氏との共同研究で、「どのような偏極に対してもK半安定となるようなBott多様体は射影直線の積に限る」なる構造定理を得た。この証明に現れる種々の不変量のうち、どれが意味のあるものなのか、そしてそれを如何にして一般論に昇華していけるかを考えているところである。また一般偏極のみならず、偏極が反標準因子、つまりファノ多様体でのK安定性も研究している。近年ファノ多様体のK安定性は大きな進展を見せたが、未だに非特異3次元ファノ多様体ですら全てのメンバーに対しK安定性を決定することが出来ないでいる。Cheltsov、Desinova、岸本、Park、岡田との複数の共同研究で、特定の複数の族に属する3次元ファノ多様体のK安定性を全て決定することも今年度行った。

围绕拟单项式作业，我们正在探索重新考虑 K 稳定性和一般极化代数簇的 K 稳定性双有理几何的方法。一般来说，很难考虑极化偏离标准因子的极化代数簇的 K 稳定性。这是由于多种因素造成的，但我认为问题困难的主要原因之一是难以评估线性系统维数的渐近行为。从这个角度来看，我们一直在成功地寻找类似“投标判断方法”的方法，但本财年我们在这方面尚未取得任何进展。相反，当在具体示例中考虑 K 稳定性（具有一般极化）时，我探讨了在简单代数簇上应考虑哪种不变量。在这个方向上，通过与四谷先生的联合研究，我们得到了一个结构定理，该定理指出“对于任何偏振都是K半稳定的Bott流形仅限于射影线的乘积。”我目前正在思考这个证明中出现的各种不变量中哪些是有意义的，以及如何将它们升华为一般理论。除了一般极化之外，我们还研究 Fano 流形中的 K 稳定性，其中极化是反标准因子。尽管近年来在 Fano 流形的 K 稳定性方面取得了很大进展，但即使是非奇异 3D Fano 流形，仍然不可能确定所有成员的 K 稳定性。在今年与 Cheltsov、Desinova、Kishimoto、Park 和 Okada 的联合研究中，我们确定了属于特定族的三维 Fano 流形的所有 K 稳定性。