超大規模行列関数を計算可能にする数値計算アルゴリズムの開発

开发可计算极大矩阵函数的数值计算算法

基本信息

批准号：
18J22501
负责人：
立岡文理
金额：
$ 1.41万
依托单位：
Nagoya University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2018
资助国家：
日本
起止时间：
2018-04-25 至 2021-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

量子格子色力学・量子情報科学・機械学習といった幅広い科学技術計算に共通して現れる重要な課題の1つに行列関数がある．行列関数とは累乗根や対数関数等の初等関数を行列に拡張したものである．行列関数の計算は行列特有の性質に対する考慮が必要であり，スカラー関数の計算手法を行列向けに書き換えただけでは実用性に欠ける点に難しさがある．本研究の目的は，超大規模行列に対応できる手法である数値積分法の実用化である．より具体的には，行列累乗根および行列対数関数の計算における数値積分法の高速・高精度化に取り組んだ．本年度は，行列関数の数値積分法に対する前処理の研究を進め，加えて，これまでの研究の取りまとめを行った．昨年度提案した前処理は，数値積分法に入力する行列の条件数を下げることで高速化を図るものであった．本年度は昨年度提案した前処理に加えて，積分点数ごとに行列を定数倍することで誤差を小さくする前処理について考察した．ここでは，定数倍のパラメータの決定をある最適化問題に帰着させ，最適化問題を数値的に粗く解くことで良いパラメータを得ることとした．二重指数関数型公式を用いた数値実験において，提案する前処理を用いると，積分点数が小さい場合に2,3桁程度精度が向上する例を確認した．また，これまでの研究のとりまとめとして，行列実数乗（行列累乗根の一般化）に対する二重指数関数型公式の適用と収束率解析による性能評価についての論文を投稿した．

矩阵函数是量子点阵色动力学、量子信息科学、机器学习等广泛科学技术计算中常见的重要问题之一。矩阵函数是初等函数（例如幂根或对数函数）到矩阵的扩展。计算矩阵函数需要考虑矩阵的独特性质，困难在于简单地重写矩阵标量函数的计算方法是不切实际的。本研究的目的是将数值积分方法付诸实践，这是一种可以处理极大矩阵的方法。更具体地说，我们致力于提高计算矩阵根和矩阵对数函数的数值积分方法的速度和精度。今年，我们开展了矩阵函数数值积分预处理的研究，并对迄今为止的研究进行了总结。去年提出的预处理旨在通过减少数值积分方法矩阵输入的条件数量来加快处理速度。今年，除了去年提出的预处理之外，我们还考虑了通过将矩阵乘以每个积分点数量的常数来减少误差的预处理。在这里，我们将参数乘以常数的确定简化为优化问题，并决定通过数值粗略地求解该优化问题来获得好的参数。在使用双指数公式的数值实验中，我们证实，当使用所提出的预处理时，当积分点数较少时，精度提高了大约两个或三个数量级。另外，作为我之前研究的总结，我提交了一篇关于双指数函数公式在矩阵实幂上的应用（矩阵幂的推广）以及使用收敛率分析进行性能评估的论文。