Index theorem of infinite-dimensional manifolds and noncommutative geometry

无限维流形指数定理和非交换几何

• 批准号: 18J00019
• 负责人: 高田 土満
• 金额: $ 2.33万
• 依托单位: The University of Tokyo
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2018
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2018-04-25 至 2021-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-18J00019/
• 关键词: 指数定理; 無限次元版のBott周期性; KK理論; 無限次元多様体; RKK理論; ループ群; ループ空間; 無限次元多様体のC^*環; 非可換幾何学; 指数理論; ループ群の表現論

本年度対外的に発表した成果は，昨年度の結果を論文にまとめ，arXivに投稿したことである．非局所コンパクト空間に対するRKK理論やGuoliang Yu氏が講演で定義した「Hilbert多様体のC^*環」に関する性質の研究などの新しい概念を多く含むことや，「Hilbert多様体のC^*環」に関する詳細な解析的研究を含むことにより，100ページを超える長い論文となった．この結果の位置づけについては昨年度の研究実績を参照のこと．その後，上記の研究課題を更に進めるには，「Hilbert多様体のC^*環」に対する幾何学的な理解が不可欠であると判断したため，それに関する知見を深めることができ，かつそれ単体で興味深いと思われるいくつかの問題の研究を行っている．現時点ではすぐに発表できる結果は出ていないが，いずれもこれまでの研究の経験を活かせるものである．具体的には，Witten種数の非可換幾何的正当化の研究を行っている．Witten種数は「ループ空間上の同変指数」というアイディアで定義されたものであり，幾何学的状況はこれまでの私の研究対象とはかけ離れているが，上記の論文の結果を直接利用できるところがあった．Witten種数を非可換幾何的に正当化するには決定的なピースが一つ欠けているので，その理論を完成させるのは今後の課題とする．この研究は，本研究課題の文脈で言えば「Hilbert多様体のC^*環に対する理解を深める研究」と位置づけられる．数学全体の文脈で言えば，「Wittenの素朴なアイディアをそのまま数学化する研究」と位置づけられる．いずれにしても重要な位置を占める．このように，これまでの研究の経験を生かして，当初設定した問題を見据えながらも新たな問題にも挑戦しているところである．

今年对外公布的结果是将去年的结果汇编成论文提交给arXiv。包括许多新概念，如非局部紧空间的RKK理论以及于国良讲座中定义的“希尔伯特流形的C^*环”性质的研究，以及“希尔伯特流形的C^*环”的性质研究这篇论文长达 100 多页，包括对该主题的详细分析研究。这些成果的定位请参考去年的研究成果。之后，为了进一步推进上述研究课题，我决定对“希尔伯特流形的C^*代数”有一个几何上的理解是非常有必要的，这样我就能够加深对它的了解，并且它本身就很有趣。我们正在对几个似乎确实如此的问题进行研究。目前还没有可以立即发表的结果，但所有这些都可以利用以前的研究经验来做出。具体来说，我正在研究维滕属的非交换几何证明。维滕属是基于“循环空间上的等变指数”的思想来定义的，虽然几何情况与我之前的研究兴趣相去甚远，但我直接使用了上面论文的结果还是有一些我可以做的。 。在用非交换几何来证明维滕属的合理性方面缺少一个关键部分，因此完成该理论将是一个未来的项目。在本研究主题的背景下，本研究被定位为“加深我们对希尔伯特流形 C^* 环的理解的研究”。在整个数学的背景下，它可以被视为“将维滕的简单思想转化为数学的研究”。无论如何，它都占有重要的地位。这样，我们就可以利用过去的研究经验来解决新问题，同时关注我们最初提出的问题。

项目成果

Towards an infinite-dimensional index theorem

走向无限维索引定理

• 发表时间: 2018
• 作者: Doman Takata

無限次元多様体の解析的指数とKK理論

无限维流形的解析指数和KK理论

• 发表时间: 2018
• 作者: 高田土満

無限次元多様体のK理論的Poincare双対

无限维流形的 K 理论庞加莱对偶性

• 发表时间: 2020
• 作者: 高田土満