多重旗多様体の軌道分解

多旗流形的轨道分解

基本信息

批准号：
16J06813
负责人：
島本直弥
金额：
$ 1.22万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2016
资助国家：
日本
起止时间：
2016-04-22 至 2019-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

本研究では，多重射影空間(P^(n－1))^m上の一般線形群GL_nの対角的な作用について，その軌道分解の考察が主題である．簡約群Gと，その放物型部分群のm組(P_1,P_2,...,P_m)を考える．このとき，等質空間(G×G×…×G)/(P_1×P_2×…×P_m)はGの多重旗多様体と呼ばれるが，本研究の主題は，この多重旗多様体に対して自然に定まるGの対角作用による軌道分解についての考察である．本年度は特に，Gを複素数体上のn次シンプレクティック群，Pをその極大放物型部分群であってハイゼンベルク冪零根基を持つものとしたときの多重旗多様体G^m/P^m=(CP^(2n－1))^m上の対角G軌道分解を記述した．さらに，そこから付随して，Gをn次の一般線形群，Pをその極大放物型部分群であってG/Pがn－1次の射影空間となるもの，Qを同じくGの極大放物型部分群であってG/Qがグラスマン多様体Gr_(n－1)となるものとしたときに，多重旗多様体 (G^m/P^m)×(G^l/Q^l)=(P^(n－1))^m×(Gr_(n－1))^l の軌道分解の記述について同様の結果を得た．これらはいずれも，多重旗多様体上の対角軌道と，旗多様体から特徴づけられるある箙の単射的な表現の同値類が自然に同一視できるという手法に基づき，ある固定された次元ベクトルdに対して，それに対応した多重旗多様体 Fl_d の部分集合として，箙の表現として直既約な元全体の集合としてIndFl_dを定義すると，その中の開かつ稠密な部分集合を適切に考えることによって，その軌道空間がよく知った多様体(特に，よりサイズの小さい多重旗多様体)と同一視できる，という枠組みによって軌道分解を記述している．

本研究的主题是考虑一般线性群GL_n在多射影空间(P^(n-1))^m上对角作用的轨道分解。考虑一个简化群 G 及其抛物线子群的 m 组 (P_1,P_2,...,P_m)。此时，齐次空间 (G×G×…×G)/(P_1×P_2×…×P_m) 称为 G 的多旗流形，本研究的主题就是关于该多旗流形。这是由于 G 的对角线作用引起的轨道分解的讨论，这是自然确定的。今年，我们将特别关注多标志流形 G^m/P^，其中 G 是复数域上的第 n 个辛群，P 是其具有海森堡幂零根 We 的最大抛物线子群。描述了 m=(CP^(2n-1))^m 上的对角 G 轨道分解。此外，顺便说一句，令 G 为 n 阶一般线性群，P 为其最大抛物线子群，使得 G/P 为 n-1 阶射影空间，Q 为 G 的最大极大值。当我们假设 G/ Q 是一个抛物线子群，并且是一个格拉斯曼簇 Gr_(n−1)，我们有一个多重标志簇(G^m/P^m)×(G^l/Q^l)=(P^(n−1))^m×(Gr_(n−1))^l 轨道分解的类似描述我得到了结果。所有这些都是基于多标志品种上的对角线轨迹可以自然地识别为该标志品种所表征的某个箭袋的单射表达式的等价类的方法。对于向量d，对应的多标志。流形 Fl_d如果我们将 IndFl_d 定义为一组直接不可约的元素集合作为箭袋的表示，那么通过适当考虑它的开子集和稠密子集，我们可以将其轨道空间转换为众所周知的流形（尤其是多标志流形）尺寸较小）。