結晶基底を用いた　Ｎｅｗｔｏｎ－Ｏｋｏｕｎｋｏｖ　凸体の研究

基于晶体基础的牛顿-奥孔科夫凸体研究

基本信息

批准号：
16J00420
负责人：
藤田直樹
金额：
$ 1.6万
依托单位：
Tokyo Institute of Technology
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2016
资助国家：
日本
起止时间：
2016-04-22 至 2019-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

本研究の目的は Newton-Okounkov 凸体と結晶基底の関係を理解し, 幾何への応用を与えることである. 報告者は昨年度の研究において, Newton-Okounkov 凸体の具体例である中島-Zelevinsky 多面体の特別なクラスが Kiritchenko による多面体に対する Demazure 作用素を用いて構成できることを見出した. 今年度はこの結果を中島-Zelevinsky 多面体に対応するトーリック多様体の研究へ応用した. 具体的には上記の作用素を用いて構成できる中島-Zelevinsky 多面体に対して, 対応するトーリック多様体が最高ウェイトの取り方に依らないこと, および Gorenstein Fano であることを証明した.シューベルト多様体の特異点解消の一つである Bott-Samelson 多様体が持つ対称性は一般化 Demazure 加群と呼ばれる加群に反映されている. この加群に対する結晶基底を一般化 Demazure 結晶という. 報告者は以前の研究において, Bott-Samelson 多様体のある付値に関する Newton-Okounkov 凸体が一般化 Demazure 結晶のあるパラメトリゼーションから作られる多面体 (一般化ストリング多面体) と一致していることを見出した. 今年度は IBS-CGP の Eunjeong Lee 氏および KAIST の Dong Youp Suh 教授との共同研究において, 一般化 Demazure 加群の特別なクラスを考察し, このクラスに属する加群の既約分解を Newton-Okounkov 凸体を用いて記述する公式を導出した. このクラスには有限個の既約表現のテンソル積が含まれており, テンソル積表現の既約分解に現れる既約表現の重複度をある多面体の格子点の数え上げとして計算する方法を与えている.Eunjeong Lee 氏および Dong Youp Suh 教授との共同研究のきっかけとなった一般化ストリング多面体に関する研究をまとめた論文が Journal of Algebra から出版された.

这项研究的目的是了解牛顿-奥孔科夫凸体和晶体基础之间的关系，并将其应用于几何学。我们发现可以使用基里琴科的多面体 Demazure 算子构造一类特殊的多面体。我们将其应用到多面体对应的环面流形的研究中。具体来说，对于使用上述算子可以构造的Nakajima-Zelevinsky多面体，我们发现相应的环面流形并不依赖于如何取最高权重，并且Gorenstein Fano Bott-Samelson流形的对称性是舒伯特流形的奇点分辨率之一，是可以推广的。这反映在一个称为模块的模块中，该模块的晶体基础称为广义 Demazure 晶体。在之前的研究中，演示者报告了 Bott-Samelson 簇的特定分配的 Newton-Okounkov 凸体。我们发现 Demazure 晶体与通过某些参数化创建的多面体（广义弦多面体）一致。今年，IBS-CGP 和 KAIST 的 Eunjeong Lee 先生。在我与 Dong Youp Suh 教授的联合研究中，我考虑了一类特殊的广义 Demazure 模，并导出了一个公式来使用 Newton-Okounkov 凸体描述属于此类的模的不可约分解。该类包含有限数量的张量积。不可约表示，本文提供了一种通过计算某个多面体的格点来计算张量积表达式的不可约分解中出现的不可约表达式的重数的方法。这是一个总体想法，引发了与 Eunjeong Lee 先生和Dong Youp Suh教授在《代数杂志》上发表了一篇总结弦多面体研究的论文。